2024年新教材高中数学第六章平面向量及其应用单元检测含解析新人教A版必修第二册.docVIP

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单元素养检测(一)

(第六章)

(120分钟150分)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

1.在四边形ABCD中,++= ()

A. B. C. D.

【解析】选D.在四边形ABCD中,++=++=+=.

2.已知△ABC中,+=2,则-= ()

A.2 B. C.2 D.0

【解析】选D.因为△ABC中,+=2,所以-+-=0,得+=0,所以-=0.

3.已知向量a=(1,1),b=(0,2),且λa+μb=(2,8),则λ-μ= ()

A.5 B.-5 C.1 D.-1

【解题指南】依据平面对量的坐标运算,得到方程组求出结果.

【解析】选D.因为a=(1,1),b=(0,2),

所以λa+μb=(λ,λ+2μ),

因为λa+μb=(2,8),所以(λ,λ+2μ)=(2,8),

所以λ=2,μ=3,所以λ-μ=-1.

4.已知△ABC中,D为AB上一点,满意=2,且||=2||,则△ABC的形态为 ()

A.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

【解析】选C.因为△ABC中,D为AB上一点,满意=2,则=,且||=2||,如图,延长CD到E,使=,则ACBE是平行四边形,由向量加法的平行四边形法则,得+==2,

则||=||,所以平行四边形ACBE是矩形,

即△ABC的形态肯定为直角三角形.

5.在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE交AF于H,记=a,=b,则= ()

A.a-b B.a+b

C.-a+b D.-a-b

【解析】选B.如图,过点F作BC的平行线交DE于G,则G是DE的中点,且==,

所以=,则△AHD∽△FHG,

从而=,所以=,

=+=b+a,

所以==a+b.

6.(2024·全国卷Ⅱ)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·= ()

A.-3 B.-2 C.2

【解析】选C.因为=-=(1,t-3),又因为||=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),故·=2.

7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=bcosC且c=6,A=,则△ABC的面积为 ()

A.2 B.3 C.4 D.6

【解析】选D.在△ABC中,由a=bcosC且c=6,

A=,由正弦定理,得==2a=2bcosC,

所以c=2bsinCcosC=6.

由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,

即36=b2cos2C+b2-2b2cos2C=b2(1-cos

=b2sin2C

代入2bsinCcosC=6,得cosC=,由于0Cπ,

所以C=,B=π-A-C=,

所以a=ctanA=2,

三角形的面积等于acsinB=×2×6×1=6.

【补偿训练】

在△ABC中,若·=2且∠BAC=30°,则△ABC的面积为 ()

A.B.2C.D.

【解析】选C.在△ABC中,若·=2且∠BAC=30°,得cos30°=2,所以=,则△ABC的面积为S=||||sin30°=××=.

8.在三角形ABC中,=2,=2,∠BAC=45°,P为线段AC上随意一点,则·的取值范围是 ()

A. B.

C. D.

【解析】选B.设=λ,=,0≤λ≤1,·=·=·,结合题目中的条件得到原式=4=4,0≤λ≤1,结合二次函数的性质得到范围是.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

9.设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是 ()

A.= B.∥

C.与共线 D.=

【解析】选ABC.如图,因为与方向相同,长度相等,所以A正确;

因为B,O,D三点在一条直线上,所以∥,B正确;

因为AB∥CD,所以与共线,C正确;

因为与方向不同,所以≠,D错误.

10.已知a∥b,=2=6,则的值可能为 ()

A.3 B.6 C.8 D.9

【解析】选AD.因为a∥b,=2=6,

则=6,=3.

当a,b方向相同时,=+=9;

当a,b方向相反时,==3.

【易错警示】本题易忽视两个向量方向相反的情形而漏解.当两个非零向量共线时,假如没有明确向量的方向相同或相反,要对两种情形分类探讨求值.

11.在△ABC中,依据下列条件解三角形,则其中没有两个解的是 ()

A.b=10,A=45°,B=