河北省衡水中学2024−2025学年高二上学期第一次综合素养测评 数学试题（含解析）.docxVIP

河北省衡水中学2024?2025学年高二上学期第一次综合素养测评数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，，若，则（????）

A． B．

C． D．

2．已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（????）

A．86 B．87 C．88 D．90

3．将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（????）

A． B． C． D．

4．在正方体中，若，P，Q分别为AC，的中点，则直线PQ与AO所成角的大小为（????）

A． B． C． D．

5．已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（????）

A． B． C． D．

6．已知非负实数满足，则的最小值为（????）

A． B．2 C． D．

7．为了发展旅游业，方便游客观赏湖面盛开的睡莲和湖里游动的锦鲤，唐山南湖公园拟修建观景栈桥．规划如图所示，为规划区域，面积为万平方米，，，，是四条观景木栈桥，其中，，，为观景玻璃栈桥，则的最小值（单位：百米）为（????）

A． B．4 C． D．

8．如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（）

A．点共面 B．平面平面

C． D．平面ACD

二、多选题（本大题共3小题）

9．若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（????）

A．数据的平均数为13

B．数据的方差为12

C．

D．

10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（????）

A． B．

C． D．的长为

11．已知函数，，则（????）

A．若有2个不同的零点，则

B．当时，有5个不同的零点

C．若有4个不同的零点，则的取值范围是

D．若有4个不同的零点，则的取值范围是

三、填空题（本大题共3小题）

12．函数，若，则.

13．如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，，平面平面ADEF＝FE，∠BAD＝45°，AD＝3，AB＝2DE＝2EF＝2，则四棱锥B﹣ADEF的体积为．

14．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若，则的最小值为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励2分、奖励0分、罚2分、罚4分．假设评定为等级为A，B，C的概率分别是，，．

(1)若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率；

(2)若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为0分的概率．

16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

(1)求A；

(2)若点D在BC边上，AD平分BAC，且，求的周长．

17．如图，等腰梯形中，，，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥，为的中点.

(1)线段上是否存在点，使平面？

(2)证明：为直角三角形；

(3)当四棱锥的体积最大时，求三棱锥的体积.

18．已知函数，对，有.

(1)求的值及的单调递增区间；

(2)若，，求；

(3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围.

19．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点．

(1)求的值；

(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；

(3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．

参考答案

1．【答案】D

【分析】分，讨论，利用可得答案.

【详解】因为，所以，

①时，，解得；

②时，则有，解得.

综上，m的取值范围是.

故选D.

2．【答案】B

【分析】根据样本数据百分位数的定义求解即可.

【详解】将数据从小到大排序得，

因为，

所以第75百分位数是．

故选B．

3．【答案】A

【分析】分析求出所有的基本事件，然后由古典概型的计算公式求解即可.

【详解】将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，

每个盒子中至少放入1个球，则基本事件有：（红1，白红2），（白，红1红2），（红2，白红1），

则2个红球分别放入不同盒子中包含了（红1，白红2），（红2，白红1），

所以由古典概型的公式得概率为：.

故选A.

4．【答案】D

【分析】利用，将直线PQ与AO所成角转化