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清单01三角形的证明
【考点题型一】等腰三角形的判定和性质
1.等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
3.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
【例1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（????）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，先证，推出，根据等腰三角形“三线合一”可得，根据，可得，通过等量代换即可求解．
【详解】解：平分，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
故选C．
【变式1-1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，，，为的中点，在边上取一点，连接，过点作交边于点，连接．下列结论正确的个数是个．
①；②四边形的面积等于面积的一半；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识．由，，得，，则，而，即可证明，得，可判断①正确；由，可推导出，可判断②正确；因为，所以，可判断③正确；由，，可推导出，而，则，可判断④错误，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，为的中点，
，，
，
，
，
，，
，
，
，故①正确；
，
，故②正确；
，
，
，
，故③正确；
，，
，
，
，
，故④错误，
故选：B．
【变式1-2】.（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点作分别交、于、，，，则长为（????）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】此题考查等腰三角形的判定与性质和平行线性质；由、的平分线相交于点，，，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可，，然后即可求得结论．
【详解】、的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，即．
，
，
故选：C．
【变式1-3】.（23-24八年级上·广西来宾·期中）如图，在中，，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数；
(3)当为多少度时，？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）由可得，得出即可求解；
（2）由（1）中的全等得出，结合三角形外角的性质证明，从而可求解的大小；
（3）由（2）知，，从而可求出，然后利用三角形内角和即可求解
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，
即，
∵，
∴，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴；
（3）由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解答本题的关键．
【变式1-4】.（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．
(1)求证：．
(2)当时，求证：平分．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．
（1）利用可证明，根据全等三角形的性质即可得结论；
（2）设、交于点，根据全等三角形的性质得出，，结合（1）的结论可得，，根据等边对等角及直角三角形两锐角互补可得，即可证明，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）如图，设、交于点，
∵，由（1）得，
∴，，，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
【考点题型二】等边三角形的判定和性质
1.等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
2.等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
3.等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【例2】（23-24八年级上·浙江杭
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