吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高二上学期学科竞赛 数学试题.docxVIP

长春二实验中学高二年级学科竞赛数学试卷

考生注意：

1.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷?草稿纸上作答无效.

3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第三章~第三章3.1.

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

2．若方程表示圆，则实数a的取值范围为（????）

A． B． C． D．(0,+∞)

3．直线被圆所截得的弦长为（????）

A． B． C．5 D．10

4．已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（????）

A． B．

C． D．

5．若椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（????）

A． B． C． D．

6．已知点，，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

7．已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（????）

A．12 B．11 C．10 D．9

8．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．已知直线，下列选项正确的是（????）

A．过点且垂直于直线的直线方程为

B．直线过定点

C．当时，

D．当时，

10．已知椭圆C：的左、右两焦点分别是、，其中.过左焦点的直线与椭圆交于A，B两点.则下列说法中正确的有（????）

A．的周长为

B．若AB的中点为M，AB所在直线斜率为k，则

C．若的最小值为，则椭圆的离心率

D．若，则椭圆的离心率的取值范围是

11．已知曲线的方程为，则（????）

A．曲线关于直线对称

B．曲线围成的图形面积为

C．若点在曲线上，则

D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12．已知圆：和圆：内切，则．

13．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是．

14．在平面直角坐标系中，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是；当取得最大值时，椭圆的焦距为.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明?证明过程及演算步骤.

15．（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程；

（2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.

16．已知圆与圆相交于A、B两点.

(1)求公共弦AB所在直线方程；

(2)求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程.

17．如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用圆形纸片按如下步骤折纸：

步骤1：设圆心是O，在圆内（除去圆心）取一点，标记为F；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过F；

步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．

这些折痕围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心O的距离为2，按上述方法折纸，如图所示．

(1)以FO所在的直线为x轴，FO的中点M为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；

(2)求经过点F，且与直线FO夹角为的直线交椭圆于C，D两点，求的面积．

18．如图，已知圆O：和点，由圆O外一点P向圆O引切线，Q为切点，且有.

（1）求点P的轨迹方程，并说明点P的轨迹是什么样的几何图形?

（2）求的最小值；

（3）以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.

19．已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为.

(1)求的值；

(2)为椭圆的左?右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值.

1．D

【分析】求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系可求得该直线的倾斜角.

【详解】根据直线方程可知其斜率为，

设直线倾斜角为，则，则，可得．

故选：D．

2．B

【解析】方程配方，左边配成平方和的形式，右边为正即可表示圆．

【详解】方程化为标准方程为，有，∴．.

故选：B

3．B

【分析】判断出圆心在直线