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长春二实验中学高二年级学科竞赛数学试卷
考生注意:
1.满分150分,考试时间120分钟.
2.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷?草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围:人教A版选择性必修第一册第三章~第三章3.1.
一?选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为(????)
A. B. C. D.
2.若方程表示圆,则实数a的取值范围为(????)
A. B. C. D.(0,+∞)
3.直线被圆所截得的弦长为(????)
A. B. C.5 D.10
4.已知直线经过两条直线:,:的交点,且的一个方向向量为,则直线的方程为(????)
A. B.
C. D.
5.若椭圆:的两个焦点为,,点在椭圆上,且,则(????)
A. B. C. D.
6.已知点,,过点的直线与线段有公共点,若点在直线上,则实数的取值范围为(????)
A. B.
C. D.
7.已知圆C:和两点,,若圆C上存在点P,使得,则m的最大值为(????)
A.12 B.11 C.10 D.9
8.若圆上恰有2个点到直线的距离为1,则实数的取值范围为(????)
A. B. C. D.
二?多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知直线,下列选项正确的是(????)
A.过点且垂直于直线的直线方程为
B.直线过定点
C.当时,
D.当时,
10.已知椭圆C:的左、右两焦点分别是、,其中.过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点.则下列说法中正确的有(????)
A.的周长为
B.若AB的中点为M,AB所在直线斜率为k,则
C.若的最小值为,则椭圆的离心率
D.若,则椭圆的离心率的取值范围是
11.已知曲线的方程为,则(????)
A.曲线关于直线对称
B.曲线围成的图形面积为
C.若点在曲线上,则
D.若圆能覆盖曲线,则的最小值为
三?填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知圆:和圆:内切,则.
13.如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是.
14.在平面直角坐标系中,已知椭圆,点是椭圆内一点,,若椭圆上存在一点,使得,则的取值范围是;当取得最大值时,椭圆的焦距为.
四?解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明?证明过程及演算步骤.
15.(1)已知点,求线段的垂直平分线的方程;
(2)求经过点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
16.已知圆与圆相交于A、B两点.
(1)求公共弦AB所在直线方程;
(2)求过两圆交点A、B,且过原点的圆的方程.
17.如图所示的折纸又称“工艺折纸”,是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容,例如,用圆形纸片按如下步骤折纸:
步骤1:设圆心是O,在圆内(除去圆心)取一点,标记为F;
步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过F;
步骤3:把纸片展开,于是就留下一条折痕;
步骤4:不停重复步骤2和3,能得到越来越多条的折痕.
这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片,设定点F到圆心O的距离为2,按上述方法折纸,如图所示.
(1)以FO所在的直线为x轴,FO的中点M为原点建立平面直角坐标系,求折痕围成的椭圆的标准方程;
(2)求经过点F,且与直线FO夹角为的直线交椭圆于C,D两点,求的面积.
18.如图,已知圆O:和点,由圆O外一点P向圆O引切线,Q为切点,且有.
(1)求点P的轨迹方程,并说明点P的轨迹是什么样的几何图形?
(2)求的最小值;
(3)以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.
19.已知是椭圆的右焦点,为坐标原点,为椭圆上任意一点,的最大值为,当时,的面积为.
(1)求的值;
(2)为椭圆的左?右顶点,点满足,当与不重合时,射线交椭圆于点,直线交于点,求的最大值.
1.D
【分析】求出直线的斜率,结合斜率与倾斜角的关系可求得该直线的倾斜角.
【详解】根据直线方程可知其斜率为,
设直线倾斜角为,则,则,可得.
故选:D.
2.B
【解析】方程配方,左边配成平方和的形式,右边为正即可表示圆.
【详解】方程化为标准方程为,有,∴..
故选:B
3.B
【分析】判断出圆心在直线
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