北京市一零一中2024−2025学年高二上学期统练一 数学试题（含解析）.docxVIP

北京市一零一中2024?2025学年高二上学期统练一数学试题

一、单选题（本大题共10小题）

1．在空间直角坐标系中，点，则（????）

A．直线坐标平面 B．直线坐标平面

C．直线坐标平面 D．直线坐标平面

2．在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（????）

A． B．

C． D．

3．已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，//，则“a与b异面”是“直线b与l相交”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

5．在正四面体中，棱与底面所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

6．正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

7．在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（????）

A．1 B．2

C．3 D．4

8．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的YongJunKLSpeedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了（????）

??

A．54 B． C． D．

9．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（????）

①的外接球表面积为；

②异面直线与所成角的取值范围是；

③直线平面；

④三棱锥的体积随着点的运动而变化.

A．①② B．①③ C．②③ D．③④

10．如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（????）

A．

B．点D到平面的距离为

C．点D到直线的距离为

D．平面与平面夹角的余弦值为

二、填空题（本大题共6小题）

11．已知，是空间两向量，若，则与的夹角为．

12．三个空间向量，，不共面，且存在实数，使.则.

13．如图，圆锥的体积为，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，设圆柱体积为，则．

14．如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是．

15．如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，E，F分别为PC，CD的中点，，且二面角的平面角大于，则的取值范围是.

16．已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：

①已知，，则；

②已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值；

③已知，，则；

④已知，，，则三棱锥的表面积.

其中真命题为（写出所有真命题的序号）．

三、解答题（本大题共2小题）

17．如图，在四棱锥中，，四边形ABCD是正方形，，E是棱PD上的动点，且.

??

(1)证明：平面ABCD；

(2)是否存在实数，使得平面PAB与平面AEC所成夹角的余弦值是？若存在.求出的值；若不存在，请说明理由.

18．如图，正方体的棱长为2，E为BC的中点.点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定，并解答问题.

条件①：

条件②：；

条件③：平面.

(1)求证：为的中点；

(2)求直线EM与平面所成角的大小，及点E到平面的距离.

参考答案

1．【答案】C

【分析】首先求向量的坐标，再判断向量与坐标平面的法向量的关系，即可判断选项.

【详解】由题意可知，，

平面的法向量为，

因为，且

所以与既不平行也不垂直，所以直线与坐标平面既不平行也不垂直，

故AB错误；

坐标平面的法向量为，

，所以，且平面，故C正确，D错误.

故选：C

2．【答案】A

【分析】取的中点，连接，，根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】取的中点，连接，，

因为是的中点，，

所以.

故选：A

3．【答案】C

【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.

【详解】若“a与b异面”，反证：直线b与l不相交，由于，则//，

∵//，则//，

这与a与b异面相矛盾，故直线b与l相交，

故“a与b异面”是“直线b与l相交”的充分条件；

若“直线b与l相交”，反证：若a与b不异面，则a与b平行或