(完整word版)线性代数知识点归纳(1).doc

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线性代数复习要点

第一部分行列式

1.排列的逆序数

2.行列式按行（列）展开法则

3.行列式的性质及行列式的计算

行列式的定义

行列式的定义

1.行列式的计算：

①(定义法)D=n

aa

a

a

1112aaa1n

11

12

a

a

a

21222n

21

22

aaa

a

a

n1n2nn

n1

n2

anjn=Σ(-1)τ(j1j2jn)a1j1a2j2

a

njn

j1j2jn

②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

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③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

b***

11

0...0b

nn

④若A与B都是方阵（不必同阶）,则

*aOa

1n1n

an1⑤关于副对角线：a2n-1=a2n-1=a1na2n

a

n1

aOOa

a

O

n1n1

n1

11

11

⑥范德蒙德行列式

1≤ji≤n

xn-1xn-1xn-1

12n

abbb

babb

⑦a-b型公式：bbab=[a+(n-1)b](a-b)n-1

bbba

⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.

⑨(递推公式法)对n阶行列式D找出D与D或D,D之间的一种关系——称为递推公式，其中nnn-1n-1n-2

D,D,D等结构相同，再由递推公式求出D的方法称为递推公式法.

nn-1n-2n

(拆分法)把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，

使问题简化以例计算.

⑩(数学归纳法)

2.对于n阶行列式A，恒有：λE-A=λn+kSkλn-k，其中Sk为k阶主子式；

k=1

3.证明A=0的方法：

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①、A=-A；

②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零解；

④、利用秩，证明r(A)n；

⑤、证明0是其特征值.

4.代数余子式和余子式的关系：M=(-1)i+jAA=(-1)i+jMijijijij

第二部分矩阵

1.矩阵的运算性质

2.矩阵求逆

3.矩阵的秩的性质

4.矩阵方程的求解

1.矩阵的定义由m×n个数排成的m行n列的表称为m×n矩阵.

记作：A=(a)或A

ijm×nm×n

同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.

矩阵相等:两个矩阵同型，且对应元素相等.

矩阵运算

a.矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.

b.数与矩阵相乘：数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ,规定为λA=(λa).

ij

c.矩阵与矩阵相乘：设A=(a)B=(b)则C=AB