2.1 圆的方程【同步精讲】(原卷版).docVIP

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第2章 圆与方程

第01讲圆的方程

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课程标准

重难点

1.掌握圆的定义及标准方程；

2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．

3.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；

4.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．

1.圆的标准方程与一般方程的转化

2.圆成立的条件

知识精讲

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知识点一圆的标准方程

1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．

2.圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．

3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．

【疑难解读】

（1）由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．

（2）几种特殊位置的圆的标准方程：

条件

圆的标准方程

过原点

(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)

圆心在x轴上

(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)

圆心在y轴上

x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)

圆心在x轴上且过原点

(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)

圆心在y轴上且过原点

x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)

与x轴相切

(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)

与y轴相切

(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)

知识点二点与圆的位置关系

1.圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则

位置关系

判断方法

几何法

代数法

点在圆上

│MA│＝r?点M在圆A上

点M(x0，y0)在圆上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2

点在圆内

│MA│r?点M在圆A内

点M(x0，y0)在圆内?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2

点在圆外

│MA│r?点M在圆A外

点M(x0，y0)在圆外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2

2.【概念解读】（1）点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外．

（2）判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法．

知识点三圆的一般方程

1.圆的一般方程的概念：

当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．

2.圆的一般方程对应的圆心和半径：

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，半径长为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).

【概念解读】

（1）圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：

①x2、y2的系数相等且不为0；②没有xy项．

（2）对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：

方程

条件

图形

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

D2＋E2－4F0

不表示任何图形

D2＋E2－4F＝0

表示一个点(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))

D2＋E2－4F0

表示以(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))为圆心，以eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)为半径的圆

能力拓展

能力拓展

考法01求圆的标准方程

例1求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．

例1

【跟踪训练】

1.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()

A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D．(x－1)2＋(y－2)2＝25

2.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．

3.过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________．

【方法总结】

确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．

考法02点与圆的位置关系

例2如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)．

例2

(1)求以P1P2为直径的圆