人教B版高中数学必修第三册课后习题 第七章 三角函数 7.4 数学建模活动 周期现象的描述.docVIP

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第七章7.4数学建模活动:周期现象的描述

A级必备知识基础练

1.[探究点一]单摆离开平衡位置O的位移s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系为s=6sin(2πt+π6)

A.2s B.1s C.12s D.1

2.[探究点二·北京西城校级期中]如图所示,一个大风车的半径为8m,每12min旋转一周,最低点离地面2m,若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系是()

A.h=8cosπ6t+10 B.h=-8cosπ

C.h=-8sinπ6t+10 D.h=-8cosπ

3.(多选题)[探究点二·广东河源期末]在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞卸货后落潮时返回海洋,现有一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m,根据安全条例规定至少要有2m的安全间隙(船底与海底的距离),已知某港口在某季节的某一天的时刻)的关系为f(x)=2sinπ6

A.相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h

B.18时水深为5m

C.该货船在2:00至4:00期间可以进港

D.该货船在13:00至17:00期间可以进港

4.[探究点一]有一小球从某点开始来回摆动,与平衡位置的距离s(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数解析式是s=Asin(ωt+φ),A0,ω0,0φπ2,函数图象如图所示,则φ=

5.[探究点二]如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题:

(1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式;

(2)当你第四次距离地面60.5米时,用了多长时间?

B级关键能力提升练

6.[江西万安校级一模]某市一年12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y=a+Acos[π6(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示,已知该市6月份的平均气温最高,为28℃;12月份的平均气温最低,为18℃

A.13℃ B.20.5℃ C.22.5℃ D.25.5℃

7.[新疆新市校级期末]如图,摩天轮的半径为50m,点O距地面的高度为60m,摩天轮做匀速转动,每3min转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最低点处.在摩天轮转动的一圈内,有时间,点P距离地面超过35m.?

8.已知弹簧上挂着的小球做上下振动,它与平衡位置(静止时的位置)的距离|h|(单位:cm),时间t(单位:s),h与t的函数关系式为h=3sin(2t+π4)

(1)求小球开始振动的位置;

(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间;

(3)每秒内小球能往返振动多少次?

C级学科素养创新练

9.某港口水深y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据.

t/时

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y/米

10.0

13.0

9.9

7.0

10.0

13.0

9.9

7.0

10.0

经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Asinωt+b(A0,ω0)的图象.

(1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似解析式;

(2)一般情况下,船舶航行时,船底距海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底与水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内航行多长时间(忽略进出港所需的时间)?

7.4数学建模活动:周期现象的描述

1.C由题意,知周期T=2π2π=1s,从最右边到最左边的时间是半个周期,为1

2.D由题意,T=12,∴ω=π6,设h(t)=Acos(ωt+φ)+B(A0,ω0,φ∈[0,2π)),则A+B=18,-A+B=2,解得A=8

∴h与t的函数关系为h(t)=8cos(π6t+π)+10=-8cosπ

3.BCD相邻两次潮水高度最高的时间间距即为函数的周期T=2ππ

18时水深f(18)=2sin3π+5=5(m),故B正确,当该船进出港时,水深应不小于4+2=6(m),

∴当y≥6时,货船就可以进港,即2sinπ6

∴sinπ6x≥12,得π6+2kπ≤π6x≤5π6

4.π6根据题中图象,知34T=

所以T=1,则ω=2πT

因为当t=16时,函数取得最大值,所以2π×16+φ=π2+2kπ,k∈Z,又0φπ

5.解(1)由已知可设y=40.5-40cosωt(ω0,t≥0),由已知周期为12分钟,可知ω=2π12,即ω=π