重难点突破02 解三角形图形类问题（十大题型）.docx

重难点突破02解三角形图形类问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法） 2

题型二：两角使用余弦定理建立等量关系 4

题型三：张角定理与等面积法 5

题型四：角平分线问题 6

题型五：中线问题 7

题型六：高问题 9

题型七：重心性质及其应用 10

题型八：外心及外接圆问题 12

题型九：两边夹问题 13

题型十：内心及内切圆问题 14

03过关测试 15

解决三角形图形类问题的方法：

方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.

题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法）

【典例1-1】（2024·河南·三模）已知是内一点，.

(1)若，求；

(2)若，求.

【典例1-2】的内角的对边分别为为平分线，.(1)求；

(2)上有点，求.

【变式1-1】如图，在平面四边形中，，，．

??

(1)若，求；

(2)若，求．

【变式1-2】（2024·广东广州·二模）记的内角、、的对边分别为、、，已知.

(1)求；

(2)若点在边上，且，，求.

【变式1-3】在中，内角，，所对的边分别为，，，且.

(1)求角；

(2)若是内一点，，，，，求．

题型二：两角使用余弦定理建立等量关系

【典例2-1】如图，四边形中，，．

(1)求；

(2)若，求．

【典例2-2】如图，在梯形ABCD中，，．

(1)求证：；

(2)若，，求梯形ABCD的面积．

【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

(1)求角；

(2)若点在上，，，求的值.

【变式2-2】平面四边形中，，，，．

(1)求；

(2)求四边形周长的取值范围；

(3)若为边上一点，且满足，，求的面积．

题型三：张角定理与等面积法

【典例3-1】（2024·吉林·模拟预测）的内角的对边分别是，且，

(1)求角的大小；

(2)若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积．

【典例3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，.

(1)求角的大小;

(2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.

【变式3-1】（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角的内角的对边分别为，且．

(1)求；

(2)若，角的平分线交于点，，求的面积．

【变式3-2】（2024·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在中，，，点在线段上.

（1）若，求的长；

（2）若，的面积为，求的值.

题型四：角平分线问题

【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知在△中，内角的对边分别为，且．

(1)若为边上的高线，求的最大值；

(2)已知为上的中线，的平分线交于点，且，求△的面积．

【典例4-2】如图所示，在中，，AD平分，且.

(1)若，求BC的长度；

(2)求k的取值范围；

(3)若，求k为何值时，BC最短.

【变式4-1】在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.(1)求；

(2)作角的平分线，交边于点，若，求的长度；

(3)在（2）的条件下，求的面积.

【变式4-2】已知的内角的对边分别为，其面积为，且

(1)求角A的大小；

(2)若的平分线交边于点，求的长.

题型五：中线问题

【典例5-1】如图，在中，已知，，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），，相交于点．

(1)求的正弦值；

(2)当点为中点时，求的余弦值．

(3)当取得最小值时，设，求的值．

【典例5-2】（2024·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，．

(1)求b边的长度；

(2)求的面积；

(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围．

【变式5-1】阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边