人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.2.1 向量的加法运算.docVIP

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6.2平面向量的运算

6.2.1向量的加法运算

课后·训练提升

基础巩固

1.(多选题)下列各式中一定成立的是()

A.a+b=b+a

B.0+a=a

C.AC+

D.|a+b|=|a|+|b|

答案:ABC

解析:因为A,B,C项满足运算律及运算法则,所以一定成立.而D项不一定成立,因为|a+b|≤|a|+|b|,只有当a,b同向时等号才成立.

2.(多选题)对于任意一个四边形ABCD,下列式子能化简为BC的是()

A.BA+AD

C.AB+BD

答案:ABD

解析:在A中,BA+AD+DC=BD+

3.(多选题)已知平行四边形ABCD,设AB+

A.a∥b B.a+b=a

C.a+b=b D.|a+b||a|+|b|

答案:AC

解析:∵在平行四边形ABCD中,AB+CD=0,BC+

∵零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,

∴AC中的结论正确,BD中的结论错误.

4.(多选题)已知平行四边形ABCD,设AB+

A.a∥b

B.a+b=a

C.a+b=b

D.|a+b||a|+|b|

答案:AC

解析:∵在平行四边形ABCD中,AB+CD=0,BC+DA=0,∴a为零向量,

4.在平行四边形ABCD中,若|BC+BA|=|BC+

答案:矩形

解析:∵|BC+BA|=|BD|,|BC+AB|=|AC|,且|

∴|BD|=|AC|.又四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形.

5.如图所示,若点P为△ABC的外心,且PA+PB=PC,则∠

答案:120°

解析:因为PA+

所以四边形APBC是平行四边形.

因为点P为△ABC的外心,所以PA=PB=PC.

所以四边形PACB是菱形,且△PAC与△PBC是全等的等边三角形.

所以∠ACB=120°.

7.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P为平面内任意一点.求证:PA+PB+

证明∵PA+PB+PC+PD=PO+OA+PO+OB+

∴PA+PB+

能力提升

1.(多选题)向量a,b均为非零向量,下列说法中正确的是()

A.若向量a与b反向,且|a||b|,则向量a+b的方向与a的方向相同

B.若向量a与b反向,且|a||b|,则向量a+b的方向与a的方向相同

C.若向量a与b同向,则向量a+b的方向与a的方向相同

D.若向量a与b同向,则向量a+b的方向与b的方向相同

答案:ACD

解析:当向量a与b反向,且|a||b|时,向量a+b的方向与b的方向相同,只有B项说法错误,A,C,D项中的说法都正确.

2.(多选题)如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式成立的是()

A.FD+

B.AD+

C.FD

D.AD

答案:ABC

解析:FD+DA+DE=FA+

3.若在△ABC中,AB=a,BC=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=2,则△ABC的形状是()

A.等边三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.等腰直角三角形

答案:D

解析:因为|AB|=|a|=1,|BC|=|b|=1,|AC|=|a+b|=2,所以△ABC为等腰直角三角形.故选D.

4.已知点G是△ABC的重心,则GA+GB+

答案:0

解析:如图,延长AG交BC于点E,则点E为BC的中点,延长GE到点D,使GE=ED,则GB+GC=

5.如图所示,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力|F1|=24N,绳BO与墙壁垂直,所受拉力|F2|=12N.求F1和F2的合力大小.

解:如图,根据向量加法的平行四边形法则,得到合力F=F1+F2=OC.

在△OCA中,∵|OA|=24,|AC|=12,∠

∴∠OCA=90°,

∴|OC|=123.∴F1与F2的合力大小为123N,方向与F2成90°角竖直向上.

6.如图所示,点P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=QC.

求证:AB+

证明∵AB=

∴AB+

∵PB与

∴PB+

故AB+AC=

拓展创新

已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满足PA+

A.点P在△ABC的内部

B.点P在△ABC的边AB上

C.点P在AB边所在的直线上

D.点P在△ABC的外部

答案:D

解析:PA+PB=