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高中数学精选习题

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《空间向量的坐标与空间直角坐标系》教学设计

教学设计

教学内容

师生互动

设计意图

问题引入

平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标.空间向量是否可以引进类似的坐标？

教师提出问题，学生思考并发表自己的想法.

通过问题引入，引发学生思考，吸引学生的学习兴趣，从而引入本节内容

形成概念1

问题1：如图所示，已知

，且是棱长为1的正方体，是一个长方体，为OC的中点，

（1）设，将向量与都用表示；

（2）如果是空间中任意一个向量，怎样才能写出在基底{}下的分式？

一般地，如果空间向量的基底{}中，都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果，则称有序实数组为向量的坐标，记作，其中都称小的坐标分量.

对于问题1（1）让学生思考，并找学生口答，对于问题1（2）让学生思考、讨论、交流，给出回答，教师进行总结，并归纳出空间向量的单位正交分解与空间向量坐标的概念

学生：，学生：对于任意一个空间向量来说，只要将它的始点平移到点O，然后过它的终点分别作与所在直线垂直的平面，就可以写出它在基底{}下的分解式

通过问题设置，培养学生合作交流、分析问题、解决问题的能力

例题解析1

例1已知{}是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标：

（1）；（2）；

（3）；

（4）.

解（1）

（2）

（3）.

（4）因为，

所以.

教师出示例题，学生利用前面所学知识独立思考完成后回答，教师评价讲解

形成概念2

问题2：若空间中两个向量相等，那么它们的坐标分量之间有什么关系？

问题3：空间向量的加法、数乘、数量积运算与它们对应的坐标之间有什么关系？

教师提出问题2，学生类比平面向量相等的充要条件进行思考后回答

学生：空间中两个向量相等则它们的坐标分量对应相等，即

教师紧跟提问：反之成立吗？

学生思考后回答：成立教师总结：空间中两个向量相等的充要条件是它们的坐标分量对应相等

教师提出问题3，学生思考后回答.

学生：

类似地，可以得出，如果是两个实数，那么

特别地,

当且时，由向量数量积的定义可知

培养学生运用类比的方法进行学习的能力

让学生体会类比、推广思想，尝试归纳、总结，培养学生分析问题和解决问题的能力

例题解析2

例2已知，，求下列向量的坐标：

（1）（2）；（3）

解（1）

（2）（3）例3已知，，求

解因为

所以

因此

教师出示例2、例3，找两位学生上台板演，学生自主完成，并派代表点评两位同学的答案，教师给予积极的评价，并进行讲解，规范解答过程

通过例题讲解，有助于巩固学生的基础知识，同时反映了学生掌握新知的情况

形成概念3

问题4：空间向量平行、垂直时坐标之间有什么关系？

教师提出问题4并进行引导，学生思考、讨论交流后回答.

学生：可以看出，当时，

更进一步，当的每一个坐标分量都不为零时，有

而且

.

通过类比，找出空间向量平行、垂直时坐标之间的关系，培养学生的类比推理能力.

例题解析3

例4（1）已知，，且，求所要满足的关系式；

（2）已知，，求一个非零空间向量，使得且

解（1）因为的每一个坐标分量均不为零，因此

（2），则

且

将看成已知数，求解方程组可得.因此

取，可得满足条件的一个非零空间向量

教师出示例4，找两位学生上黑板完成，完成后先找其他学生进行点评，教师再进行讲解.

对于（2）教师强调：空间中同时垂直于两个不共线向量的空间向量有无数个，而且这无数个向量是相互平行的

通过例题，巩固空间向量平行、垂直时坐标之间的关系，培养学生的知识运用能力

课堂小姐

1.空间中向量的坐标.

2.空间向量的运算与坐标的关系.

3.空间向量平行、垂直时坐标之间的关系.

学生自己归纳这节课所学知识，教师补充完善

通过小结可以

帮助学生形成系统

的知识结构

课堂作业

教材第25页练习A第1，2，3，4题

教师布置作业，学生按时完成

巩固知识，提升能力

板书设计

第1课时空间中向量的坐标和空间向量的运算与位置关系

一、问题引入

二、形成概念

1.空间中向量的坐标

一般地，如果空间向量的基底{}中，都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果，则称有序实数组为向量的坐标，记作，其中都称小的坐标分量.

例1

2.空间向量的运算与坐标的关系

若则

类似地，可以得出，如果是两个实数，那么

特别地,

当且时，由向量数量积的定义可知

例2

例