高中数学同步课堂精讲与练习-两角和与差的三角函数（苏教版必修第二册）（解析版）.docxVIP

10.1两角和与差的三角函数

知识点一、两角差的余弦公式

1． 两角差的余弦公式的推导：如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则.

由向量数量积的概念,有,

结合向量数量积的坐标表示,有,

所以；

（2）由以上的推导过程可知,是任意角,则也应为任意角,但由两个向量数量积的意义,（*）中的。为此,我们讨论如下：

由于是任意角,由诱导公式,总可以找到一个角,使得,

①若,则,

②若,则,且.

综上,对于任意的,都有

2． 公式的记忆

右端为的同名三角函数积,连接符号与左边角的连接符号相反.

3. 两角和的余弦公式

在公式中,用替换公式中的,则

4. 公式使用时不仅要会正用,还要能够逆用、变形应用：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

知识点二、两角和与差的正弦公式

1. 两角和的正弦公式

2. 两角差的正弦公式

知识点三、两角和与差的正切公式

1. 两角和的正切公式

2. 用替换公式中的,可得两角差的正切公式：.

3. 公式的变形

（1）；

（2）.

巩固练习

一．选择题（共8小题）

1．已知sin（α+2021π2）=-45,α∈（0,π）则tan（α

A．-34 B．74 C．1

【分析】又已知利用诱导公式,同角三角函数基本关系式可求sinα,tanα的值,进而利用两角和的正切公式化简所求即可求解．

【解答】解：因为sin（α+2021π2）＝sin（α+π2）=-4

又α∈（0,π）

所以sinα=35,tanα

则tan（α+π4）

所以tan（α+π4）（1﹣tanα）＝tanα+1=-3

故选：C．

【点评】本题主要考查了三角函数诱导公式及两角和的正切公式在三角函数化简求值中的应用,考查了运算求解能力,考查了数学运算核心素养,属于基础题．

2．已知α∈（0,π2）,β∈（﹣π,-π2）,sinα=7210,cosβ=-

A．34π B．-34π

【分析】直接利用同角三角函数关系式的变换和和角公式的运用求出结果．

【解答】解：由于α∈（0,π2）,sinα=

所以cosα=1-

且β∈（﹣π,-π2）,cosβ

所以sinβ=-1-

所以tanα=sinαcosα=7

由于α∈（0,π2）,β∈（﹣π,-π

所以,,

tan（α+2β）=tanα-tan2β

所以α+2β=-5π

故选：D．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换,同角三角函数关系式的变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题．

3．已知tan(α-π6)=2,tan（α+β）＝﹣3

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】由于（α-π6）+（β+π6）＝α

【解答】解：因为（α-π6）+（β+π6）＝（α

所以tan（α+β）＝tan[（α-π6）+（β+π6

整理解得tan（β+π

故选：A．

【点评】本题主要考查了两角和的正切公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题．

4．化简cos16°cos44°﹣cos74°sin44°的值为（）

A．32 B．-32 C．1

【分析】利用诱导公式化cos74°为sin16°,再由两角和的余弦得答案．

【解答】解：cos16°cos44°﹣cos74°sin44°

＝cos16°cos44°﹣sin16°sin44°

＝cos（16°+44°）

＝cos60°

=1

故选：C．

【点评】本题考查两角和与差的三角函数,是基础的计算题．

5．若tan（α+π3）=-32

A．33 B．﹣33 C．-5312

【分析】由已知结合两角差的正切公式得tanα＝tan[（α+π3）-π

【解答】解：∵tan（α+π3）

则tanα＝tan[（α+π3）-π3]

故选：A．

【点评】本题主要考查了两角和的正切公式的的简单应用,属于基础题．

6．已知3cos2α﹣4sin2β＝1,3sin2α﹣2sin2β＝0,且α、β都是锐角,则α+2β＝（）

A．π2 B．π C．π6

【分析】联立两个已知方程可得解得sinα=13,cosα223,sin2β=223,cos2β=13,然后求出cos（α+2

【解答】解：由3cos2α﹣4sin2β＝1得3cos2α+2cos2β＝3①

由3sin2α﹣2sin2β＝0得9sin22α﹣4sin22β＝0,得9cos22α﹣4cos22β＝5,得（3cos2α﹣2cos2β）（3cos2α+2cos2β）＝5,得3cos2α﹣2cos2β=53

①②联立解得cos2α=79,cos2β

∵α,β为锐角,∴sinα=13,cosα=223

∴cos（α+2β）＝cosαcos2β﹣sinαsin2β=22

∵α+2β∈（0,3π2）,∴α+2β=

故