数学课后导练：几个三角恒等式.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课后导练

基础达标

1.下列等式中不正确的是()

A.sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）］B。cosαsinβ=[sin（α+β）—sin（α-β)］

C.cosαcosβ=［cos（α+β)+cos（α—β）］D.sinαsinβ=［cos（α+β）—cos（α-β）］

解析：由积化和差公式知D中符号出错.

答案:D

2.当tan≠0时,tan的值与sinα的值（）

A.同号B.异号

C.有时同号有时异号D。sinα可能为零

解析:由tan=知在1—cosα＞0的条件下，tan与sinα同号。

答案：A

3.已知180°＜α＜360°，则cos的值等于（）

A.B。C.D。

解析：因180°＜α＜360°，

∴90°＜＜180°，∴cos＜0，由cos2α=2cos2α-1变形知选C.

答案：C

4.函数y=sin（x+）+sin（x—)的最大值是(）

A.2B。1C.D。

解析:∵sin(x+)+sin(x—)=2sinxcos=sinx，

∴最大值为1。

答案：B

5.函数y=5cosα+12sinα的值域是（）

A.［—17，17]B.［-12，12］C。［-13,13］D.［-7，7]

解析:y=5cosα+12sinα

=13（cosα+sinα)

=13sin(α+φ）

因α+φ∈R，∴sin（α+φ)∈［-1,1］

∴y∈[—13,13］.

答案：C

6。函数y=sinx+cosx的图象的一个对称中心()

A.（，)B。(，-)C.（-,0)D.（，1)

解析：y=sinx+cosx=sin（x+)

代入选项检验知C正确。

答案：C

7.已知cosθ=-,3π＜θ＜,则tan=_____________。

解析：∵θ∈(3π,),∴∈（，7），

∴tan＜0,∴tan=.

答案：-2

8.（2005全国高考Ⅱ)设α为第四象限的角，若，则tan2α=________________.

解：

=2cos2α+cos2α=.

∴(1+cos2α)+cos2α=,解得cos2α=.

∵2kπ-＜α＜2kπ,∴4kπ—π＜2α＜4kπ（k∈Z）.

∴sin2α==。

∴tan2α=。

答案:

9.已知f(x）=.若α∈（，π）,化简f（cosα)+f(—cosα).

解:f(cosα)+f(-cosα)

=

=

=

10.已知sin（α+β）=，sin(α—β)=，求的值.

解：由已知，得

解得

原式=

综合运用

11。若sinα-cosα=Asin(α+φ），则A和φ的可能值分别为（)

A。2，B.2，—C.-2,D。-2,-

解析：∵sinα—cosα=2(sinα-cosα）=2sin（α-）=Asin(α+φ），

∴A=2，φ=-.

答案：B

12.函数y=sin（-2x)+sin2x的最小正周期是（)

A.2πB.πC.D。4π

解析:∵y=sin(-2x）+sin2x=cos2x—sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（2x+),

∴T==π.

答案：B

13.若x2+y2=4，则x2+y2+xy的最大值为_____________。

解析：∵x2+y2=4，则令

∴x2+y2+xy=4+4sinθ·cosθ=4+2sin2θ，

当sin2θ=1时，x2+xy+y2有最大值6.

答案：6

14.化简cos2A+cos2(A+)+cos2(A—）的结果是_______________。

解析:原式=

+cos2A+cos（2A+）+cos（2A—)=.

答案：

15。若函数f(x）=acosx+b(a＞0）的最大值为1，最小值为-7，求函数g(x)=acosx+bsinx的最大值。

解：当cosx=1时，

f（x)max=a+b=1.

当cosx=-1时,

f(x）min=-a+b=—7。

解得a=4，b=—3。

∴g（x）=4cosx—3sinx

=-5(sinx—cosx）

=—5sin（x