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二十四节气与三角函数

福建省霞浦三中尤新国

教学目的：通过对二十四节气与三角函数，使学生深刻认识二十四节气背后的数学规律，认识三角函数的应用价值。

重点：深刻认识二十四节气背后的数学规律。

难点：从二十四节气对应的太阳直射纬度中进行数学建模。

教学过程：

春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连

秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒。

这首诗所包含的二十四节气的知识是中华民族优秀的关于自然方面的文化瑰宝，对它的学习，能帮助我们深刻认识一年四季气候变化的规律。但是，现在的中学生普遍对二十四节气这个重要的传统文化毫无感知，或知识一知半解。

另一方面，在《三角函数》的这章前言开宗明义的说“现实世界中的许多运动变化有着周而复始的现象，…地球公转引起的四季交替变化…”，但《三角函数》的整章中没有相应的例题习题提供关于这方面的信息内容。事实上，在高中数学的各章节中，《三角函数》这章公式多，公式与公式之间的推导、演绎成分较多，能给力的形象素材方面提供较少，所以《三角函数》的这章相对于其他章节而言，学生学起来不能充分的入心入脑，困难略大一点。

笔者经多年的教学实践与思考，拿出了《二十四节气与三角函数》的专题课，借助二十四节气这个传统文化素材来帮助学生更深刻地理解三角函数有关知识，同时也借助三角函数的知识能使学生更深入地认识中华民族这个文化瑰宝，把它更好地应用到日常的生活实践中，达到双赢的结果。

一．春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，

秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒。

每月两节不变更，最多相差一两天，

上半年来六廿一，下半年是八廿三。

问：根据这首诗的前半段解读出二十四节气分布是？

答：春：立春雨水惊蛰春分清明谷雨

夏：立夏小满芒种夏至小暑大暑

秋：立秋处暑白露秋分寒露霜降

冬：立冬小雪大雪冬至小寒大寒

二十四节气是春秋战国时期形成的，它能反映季节的变化，指导农事活动，影响着千家万户的衣食住行。二十四节气是根据太阳在黄道（即地区绕太阳公转的轨道）上的位置来划分的。

问：根据这首诗的后半段解读出其中四个节气春分、夏至、秋分、冬至的时间是几月几日？

答：春分3月21日夏至6月21日

秋分9月23日冬至12月22日

来年的春分也是3月21日。

问：这四个节气中春分到夏至，夏至到秋分，秋分到冬至，冬至到来年的春分都是相隔多长的时间？

答：都是三个多月时间。

问：春分、夏至、秋分、冬至节气太阳的直射地球的位置是哪里？

答：赤道、北回归线、赤道、南回归线

问：它们的纬度是多少？

答：0°、北纬23.5°、0°、南纬23.5°

再加一个来年春分太阳直射纬度就是

0°、北纬23.5°、0°、南纬23.5°、0°

以时间为横轴，以纬度为纵轴（北正南负）建立坐标系，春分、夏至、秋分、冬至四个节气所处的时间为横坐标，以太阳直射的纬度为纵坐标，请大家标出来,看出了什么？

“五点法”画三角函数图像的“五点”，画出图像

二．问:若时间以天为时间单位，此三角函数y=Asin(ωt+φ)的解析式是什么？

答：A=23.5°（回归线的纬度）ω==（即周期T=365天）

φ=0

即y=23.5°sint

问：由y=23.5°sint，我们可以根据这个解析式求出一年中任意一天太阳照射地球的纬度，如5月1日这天太阳照射地球的纬度是多少？

答：5月1日距春分这天（3月21日）是41天，即t=41

y=23.5°sin（*41）=23.5°sin（0.225π）≈15.3°

问：1月1日这天太阳照射地球的纬度是多少？

答：1月1日在春分之前79天，t=－79°

y=23.5°sin*（－79）=23.5°sin（－0.433π）≈－23°

即1月1日这天太阳照射地球的纬度是南纬23°。

中国古代春、夏、求、冬的四季划分标准

二十四节气把黄道二十四等分，因此每个节气相隔2π*=弧度，所以我们也可以由此来方便地求各个节气的太阳照射地球的纬度，如立夏时节是春分之后的第三个节气，其太阳照射地球的纬度

y=23.5°sin*3=23.5°sin≈16.5°（在北纬16.5°）

同样我们也可求得立春、立秋、立冬时节的太阳照射地球的纬度

立春：y=23.5°sin*（－3）=23.5°sin（－）≈－16.5°（在南纬16.5°）

立秋：y=23.5°sin*9=23.5°sin≈16.5°

立冬：y=23.5°sin*15=23.5°sin≈－16.5°

中国古代春、夏、求、冬的四季划分标准是

春季，立春其到立夏止；夏季，立夏其到立秋止；

秋季，立秋其到立冬止；冬季，立冬其到来年立春止。

春季，立春起立夏止；夏季，立夏起