第二节两条直线的位置关系讲义- 高三数学一轮复习.docxVIP

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第二节两条直线的位置关系

【知识梳理·归纳】

1.两条直线的位置关系

(1)位置关系

项目

斜截式

一般式

方程

y=k1x+b1,

y=k2x+b2

A1x+B1y+C1=0(A12+

A2x+B2y+C2=0(A22+

相交

k1≠k2

A1B2-A2B1≠0

垂直

k1k2=-1

A1A2+B1B2=0

平行

k1=k2,且b1≠b2

A1

A

重合

k1=k2,且b1=b2

A1B2-A2B1=B1C2-

B2C1=A1C2-A2C1=0

(2)交点坐标

若直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+

l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)相交,则l1与l2

2.三种距离公式

(1)两点间的距离公式

①条件:点P1(x1,y1),P2(x2,y2).

②结论:|P1P2|=.

③特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=x2

(2)点到直线的距离

点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.

(3)两条平行直线间的距离

两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=.

【微点拨】

点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件

(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.

(2)求两平行线之间的距离时,应先将直线方程化为一般式,且x,y的系数对应相等.

【基础小题·自测】

类型

辨析

改编

易错

题号

1

2,3

4,5

1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()

A.若两条直线斜率相等,则两直线平行

B.若l1∥l2,则k1=k2

C.若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交

D.若两直线斜率都不存在,则两直线平行或重合

【解析】选CD.A.两直线有可能重合,故A错误;

B.可能出现两直线斜率不存在的情况,故B错误;

C.若两直线中有一条直线的斜率不存在则直线垂直于x轴,另一条直线的斜率存在,则直线不与x轴垂直,所以两直线相交,故C正确.

D.两直线斜率都不存在,可能重合,可能平行,故D正确.

2.(选择性必修第一册P57例5变形式)以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是 ()

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.以A为直角顶点的直角三角形

D.以B为直角顶点的直角三角形

【解析】选D.直线AB的斜率kAB=1-(-1)1-5=-12,直线

由kAB·kBC=-1,所以AB⊥BC,

故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.

3.(选择性必修第一册P57练习T2变条件)若直线3x-2y-1=0与3x-ay+6=0平行,则a= ()

A.-2 B.-1 C.12

【解析】选D.由题意32=3a,则a=2.

4.(忽视直线斜率不存在的情形致误)(多选题)若A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,3),D(1,0),且直线AB与CD平行,则m的值为 ()

A.-1 B.0 C.1 D.2

【解析】选BD.当AB与CD的斜率均不存在时,m=2m,m+1=1,故得m=0,此时AB∥CD;

当kAB=kCD,即m≠0时,m+1m=3m,解得m=2,此时

5.(误用两平行线间的距离公式致误)直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0之间的距离为 ()

A.8 B.4 C.85 D.

【解析】选D.因为l1∥l2,所以直线l1与直线l2之间的距离d=|-14-1

【巧记结论·速算】

1.直线系方程

(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).

(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).

(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(

2.点关于特殊的直线的对称问题的结论:

点的坐标

对称直线

对称点的坐标

点P(x0,y0)

y=x

(y0,x0)

y=-x

(-y0,-x0)

x+y+t=0

(-t-y0,-t-x0)

x-y+t=0

(y0-t,x0+t)

【即时练】

1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ()

A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0

C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0

【解析】选A.因为所求直线与直线x-2y-2=0平行,所以设直线方程为x-2y+c=0,又直线经过点(1,0),得出c=-1,故所求直线方程为x-2y-1=0.

2.设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线