圆锥曲线中的求值与证明问题.pptx

圆锥曲线中的求值与证明问题

研题型·通法悟道

目标1代数求值问题(1)求椭圆C的标准方程．1【解答】

(2)设过点D且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，试问：k1·k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．1

【解答】

目标2几何证明问题已知F是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，当AB平行于y轴时，|AB|＝2．(1)求抛物线C的方程；2【解答】

已知F是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，当AB平行于y轴时，|AB|＝2．(2)若O为坐标原点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，AE的中点为G，求证：G，B，D三点共线．【解答】2

证明问题主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系．解决证明问题，主要根据直线与圆锥曲线的性质、位置关系，通过相关性质的使用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行解答．

【解答】

【解答】

1．(2023·济南三月模拟)已知抛物线H：x2＝2py(p为常数，p＞0)．(1)若直线l：y＝kx－2pk＋2p与H只有一个公共点，求k的值；【解答】将y＝kx－2pk＋2p代入x2＝2py，化简得x2－2pkx＋4p2(k－1)＝0(*)，方程(*)的判别式Δ＝4p2k2－4(4p2k－4p2)＝0，化简得k2－4k＋4＝0，解得k＝2．

1．(2023·济南三月模拟)已知抛物线H：x2＝2py(p为常数，p＞0)．

【解答】

配套精练

1．(2023·南通如皋二模)已知动圆M过点F(1,0)且与直线x＝－1相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；【解答】

1．(2023·南通如皋二模)已知动圆M过点F(1,0)且与直线x＝－1相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．(2)若直线l：x＝m(m＜0)与x轴相交于点P，点B为曲线C上异于顶点O的动点，直线PB交曲线C于另一点D，直线BO和DO分别交直线l于点S和T．若O，F，S，T四点共圆，求m的值．

【解答】如图，设直线BD的方程为x＝ty＋m(t≠0)，代入y2＝4x得y2－4ty－4m＝0．因为O，F，S，T四点共圆，所以|PT|×|PS|＝|PO|×|PF|，即－4m＝m(m－1)，又m＜0，则m＝－3．

【解答】

【解答】

3．(2023·南通三模)已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)与C2：x2＝2qy(q＞0)都经过点A(4,8)．(1)若直线l与C1，C2都相切，求l的方程；【解答】将点A(4,8)代入y2＝2px(p＞0)中，得64＝8p，解得p＝8，将点A(4,8)代入x2＝2qy(q＞0)，得16＝16q，解得q＝1，所以C1的方程为y2＝16x，C2的方程为x2＝2y．

由①②解得k＝m＝－2．所以直线l的方程为y＝－2x－2，即2x＋y＋2＝0．

3．(2023·南通三模)已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)与C2：x2＝2qy(q＞0)都经过点A(4,8)．【解答】

若2b－a＝0，由②知b2＋4b＋4＝0，所以b＝－2，a＝－4，所以M(1，－4)，N(－2,2)．若2b＋a－8＝0，由②知b2－4b＋20＝0，方程无解．

(1)求C的方程；【解答】

(2)设点O(0,0)，M(0,2)，动直线l：y＝kx＋m与C的右支相交于不同两点A，B，且∠AFM＝∠BFM，过点O作OH⊥l，H为垂足，求证：动点H在定圆上，并求该圆的方程．【解答】