《医学高等数学》课件 第二章 导数与微分.pptxVIP

第二章导数与微分医学高等数学

第一节导数的概念第四节导数的应用第二节导数的运算第三节微分本章内容

案例导入：?仔细观察这个问题，归结为计算当自变量的改变量趋于零时，函数改变量与自变量改变量之比的极限，而此类极限就是本节我们所要讨论的函数的导数。第一节导数的概念

1.变速直线运动的瞬时速度一、导数概念的引入我们在中学物理中学过，做匀速直线运动的物体的速度可由公式计算，其中表示时间，表示时间内运动的路程。现假设有一物体做变速直线运动，其运动方程为，求该物体在时刻的瞬时速度。首先考虑物体在时刻附近很短一段时间内的运动，设物体从变到，相应的路程就从变到，其改变量为，于是物体在这段时间内的平均速度为

当很小时，可以认为物体在时间近似的做匀速运动，因此可以用作为的近似值，且越小，其近似程度越高，当时，平均速度的极限就是物体在时刻的瞬时速度，即

2.曲线切线的斜率如图2-1所示，点是曲线L上的一个定点，点是L上的一个动点，当点沿着曲线L趋近于点时，如果割线的极限位置存在，则称直线为曲线L在点处的切线。如何求曲线上某点的切线方程呢？例如求抛物线在点的切线方程，如图2-2所示，显然求出切线的斜率即可。

切线是割线的极限位置，自然求切线的斜率就要先求出割线的斜率，在点近旁取动点，设，则，割线的斜率为当时，可以得到（割线切线）（割线斜率切线斜率）即切线的斜率是割线斜率的极限：所以函数：在处的切线方程为：

?二、导数的定义定义1一般的，函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该领域内）时，相应地，函数取得增量；如果时，的极限存在，则称函数在点处的导数存在，并称这个极限为函数在点处的导数，记作，即有时也可称作否则，就说在处的导数不存在。注：在上式中，令，得。

2.左导数和右导数左导数：。函数在点处存在导数的充分必要条件是在点处的左导数和右导数都存在且相等。右导数：。

3.函数在开区间内的导数上面叙述的是函数仅仅在一点存在导数。如果函数在某个区间的任意一点都存在导数，则在区间内存在导数，或者说函数在区间内可导。这样对应于区间内任意一点，函数都有一个确定的导数值，于是区间内的和其对应点的导数值之间便构成了一个新函数，这个函数称为原来函数的导函数，简称导数，记作。在导数的定义中，把换成，即得导函数的定义式而在处的导数即在处的函数值，即。

4.函数在闭区间上可导如果函