《正弦函数的性质》教学设计一 (1).doc

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《正弦函数的性质》教学设计一

教学设计

一、情境引入

将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点O，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系.设O到地面的高OT为lm，P点为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为rm.记以OP为终边的角为xrad，点P离地面的高度为ym，那么y是x的函数吗？如果是，这个函数有什么性质？

二、复习旧知

前面我们学过了三角函数线的相关知识，大家回顾下面知识并填空：

如下图，设任意角的终边与单位圆交于点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，可以直观地表示，我们称为角的_______，如果，把的方向看作与y轴正方向_______，表示是正数，且_______；如果，把的方向看作与y轴正方向相反，表示是负数，且，当角的终边在x轴上时，正弦线变成_______.

（答案：正弦线；相同；；点）

设计意图：从图形角度直观研究正弦线，为后续研究性质打下基础.

三、探究新知

大家观察正弦线，根据正弦线的变化大家可以得出正弦函数具有哪些性质？

观察1：是不是每个角都有正弦值？

观察2：正弦线长度的最大值是多少？

观察3：关于x轴对称的两个角的正弦线有什么关系？

观察4：终边相同的角的正弦线有什么关系？

观察5：当角旋转一周时，正弦线如何变化？

观察6：哪些角的正弦值为0？

师生一起归纳得出：

1.定义域：的定义域为R.

2.值域：引导回忆单位圆中的正弦线，结论：（有界性）.

再看正弦线（图像）验证上述结论，所以的值域为.

最值：（1）对于，当且仅当时，；

当且仅当时，.

（2）当时，；

当时，.

3.奇偶性：，故是奇函数.

4.周期性：（1）正弦函数的图像是有规律的、不断重复出现的；

（2）规律是：每隔重复出现一次（或者说每隔重复出现）；

（3）这个规律由诱导公式也可以说明.

师给出周期性的定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足，那么就称函数为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期.对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为的最小正周期.

结论：是一个周期函数，都是它的周期，最小正周期为.

5.单调性：

增区间为，其值从增大到1；

减区间为，其值从1减少到.

6.正弦函数的零点：正弦函数的零点为.

设计意图：根据正弦线，师生共同探究正弦函数的性质，增强学生的学习积极性和主动性.

四、典例分析

例1设，列出不等式求t的取值范围.

分析：利用正弦函数的值域，的范围与的范围相同，列出不等式求解t的取值范围.

解：因为，所以，解得.

变式1设，求m的取值范围.

解：的值域为，故，解得.

变式2不等式恒成立，求t的取值范围.

解：不等式恒成立，等价于大于等于的最大值，故有，解得或.

设计意图：通过例题以及变式训练要求学生掌握正弦函数的值域并熟练应用.

例2不求值，比较与的大小：

解：因为，

，

，

又因为在区间内递增，且，所以，

因此.

变式3不求值，比较下列两数的大小：

与.

分析：利用正弦函数在内递增；在内递减比较大小，对于不在单调范围内的角可通过诱导公式转化到单调区间求解.

解：（1）因为，而在内递增，

故.

设计意图：通过例题以及变式训练要求学生掌握正弦函数的单调性并熟练应用.

例3求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值.

（1）：

（2）；

（3）.

解：（1）函数与同时取得最大值和最小值，所以，

当时，取得最大值；

当时，取得最小值.

（2）令，则

，

于是就转化为求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了.

因为时，，所以，因此

.

从而，此时，即，此时.

（3）令，则

.

因为时，所以，因此

.

从而，此时，此时，即或.

设计意图：通过例题要求学生掌握正弦函数的最值以及常见题型的求法，并熟练应用.

五、课堂小结

本节课我们共研究了正弦函数的几条性质，分别是定义域与值域、奇偶性、周期性、单调性、零点，这些性质都依托于正弦线，同学们要从图形的角度研究其性质，体会数形结合思想的应用.

六、布置作业

教材第42页练习A第1~4题.

板书设计

第1课时正弦函数的性质

一、情境引入

二、复习旧知

三、探究新知

1.定义域

2.值域、最值

3.奇偶性

4.周期性

5.单调性

6.零点

四、典例分析

例1

变式1

变式2

例2

变式3

例3

五、课堂小结

教学研讨

本节课主要是由正弦线直观判断正弦函数的性质，并上升到理性认识，理解并掌握正弦函数的性质，以学生的自主学习和合作探究