人教A版高中数学必修第二册课后习题 第8章 立体几何初步 8.6.1 直线与直线垂直 (2).docVIP

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第八章8.6空间直线、平面的垂直

8.6.1直线与直线垂直

A级必备知识基础练

1.[探究点一]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,在三棱柱所有的棱所在直线中,和AC垂直且异面的直线有()

A.1条 B.2条

C.3条 D.4条

2.[探究点一]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为 ()

A.22 B.32 C.5

3.(多选题)[探究点一]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述错误的是()

A.CC1与B1E是异面直线

B.C1C与AE共面

C.AE与B1C1是异面直线

D.AE与B1C1所成的角为60°

4.[探究点一]若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为.?

5.[探究点一]如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为.?

6.[探究点一]一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:

①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.

以上结论正确的为.(填序号)?

7.[探究点一]如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=.?

8.[探究点一]如图所示,AB是圆O的直径,点C是AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角.

9.[探究点二]如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF.

B级关键能力提升练

10.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=3,则异面直线AD,BC所成的角为.?

11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,E是B1C1的中点,则直线AE与BC所成的角为,直线A1B与AC1所成角的余弦值为.?

12.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=2.求证:AD⊥BC.

13.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?最大面积是多少?

C级学科素养创新练

14.如图,已知在圆柱OO1中,AB,A1B1分别是☉O,☉O1的直径,且AB∥A1B1.点P在☉O上,BP⊥A1P.若圆柱OO1的体积V=12π,OA=2,∠AOP=120°,回答下列问题.

(1)求三棱锥A1-APB的体积.

(2)在线段AP上是否存在一点M,使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25

参考答案

8.6空间直线、平面的垂直

8.6.1直线与直线垂直

1.B和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1,故选B.

2.C如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB,

所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB,

设正方体棱长为2a,则由E为棱CC1的中点,可得CE=a,所以BE=5a,AE2=AC2+CE2=9a2,则有AE2=AB2+BE2.

则tan∠EAB=BEAB=5

故选C.

3.ABD由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E共面,A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于点E,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,而E为BC的中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,即AE与B1C1所成的角为90°,D错误.故选ABD.

4.60°∵a∥OA,

∴∠AOB或它的补角为a与OB所成的角,

又∠AOB=120°,

∴a与OB所成角的大小为180°-120°=60°.

∴a与OB所成的角为60°.

5.30°设G为AD的中点,连接GF,GE,如图.

则GF,GE分别为△ABD,△ACD的中位线.∴GF∥AB,且GF=12AB=1,GE∥CD,且GE=1

又EF⊥AB,GF∥AB,∴EF⊥GF,

则△GEF为直角三角形.GF=1,GE=2,∠GFE=90°,

∴在直角三角形GEF中,sin∠GEF=12,∴∠

∴EF与CD所成的角为30°.

6.①③如图,把正方体的平面