《等差数列》教学设计二.doc

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《等差数列》教学设计二

教学设计

教学环节

教学过程

学生活动

设计意图

创设情境

1.多媒体展示场景

一个小探险家在古墓中寻宝，来到宝藏门外，发现门上有四个0~9刻度的转盘，要求把四个转盘分别转到指定数字，门才能打开.门上还有四组数字如下：

（1）1,3,5,（）,9；

（2）15,12,（）,6,3

（3）48,53,58,（）68；

（4）8,（）,8,8,8.

2.分析场景，渐进式提问

问题1：你能找出打开宝藏之门的密码吗？

问题2：这四列数有何共同特点？

尝试寻找线索，打开宝藏之门.

思考片刻后，请两位同学回答两个问题，若学生回答不到位，其他同学可以补充.

创设学生比较感兴趣的情境，激发学生对本节课的学习兴趣，在游戏中加入等差数列的内容，让学生初步感知等差数列的特点，同时培养学生的观察和归纳能力.

新知探究

师:我们把这样的数列称为等差数列,今天我们就来认识这一典型数列一一等差数列(板书课题).

师:请同学们根据等差数列的特征,尝试给等差数列下个定义.

1.等差数列的定义

一般地,如果数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,即恒成立,则称为等差数列,其中称为等差数列的公差.

问题1定义中为什么要说从第2项起?能不能将同一个常数改为常数?为什么?

问题2上述定义能否转化为符号语言?

(板书:或

问题3刚才引例中四个数列的公差分别是什么?

师点评:可见公差可正,可负,也可为0,且公差一定是每一项与它前一项的差而非后一项的差.

问题4公差大于0、小于0、等于0时等差数列分别有何特点?

师:说明等差数列要么是递增数列,要么是递减数列,要么是常数列.等差数列在生活中应用非常广泛,比如衣服鞋子的尺寸、打车费用等.

概念辨析:

师:请大家判断以下数列是否为等差数列?

(PPT展示)判断下列各组数列中哪些是等差数列,

哪些不是?如果是,写出首项和公差;如果不是,说明理由.

（1）(1);

（2）;

（3）;

（4）.

师点评:判断一个数列是不是等差数列,主要是由定义进行判断,即看是不是同一个常数.

由,所以也可以通过检查是否恒成立来判断数列是否是等差数列.

问题:数列是不是等差数列?

师:等差数列至少有三项(引出等差中项的概念).

2.等差中项

如果在与中间插入一个数,使成等差数列,那么称为与的等差中项.

问题5等差中项与之间有怎样的关系?

问题6下列两个数的等差中项分别是什么?

（1）2，（），4;

（2），（）0.

问题7是不是任意两数都存在等差中项?存在几个?

师点评:任意两数的等差中项即为两数的平均值.

问题8等差数列中,与之间有怎样的关系?为什么?

师点评:反之亦成立,由此我们可以得到判断等差数列的又一方法.

师:若一个等差数列的首项和公差确定,那么这个数列中的每一项是否唯一确定?

3.等差数列的通项公式

问题9数列中,是多少?呢?

问题10等差数列中,公差为,那么通项是什么?如何推导?

师点评:刚才我们是通过等差数列的前几项归纳得出通项公式,后面我们会知道由这种方法得到的结论还需要进行证明才可以使用.

问题11还有没有其他的推导方法?

师PPT展示:由等差数列的定义得:

，

，

，

.

将这个式子相加得.

问题12从第几项开始归纳的?

(第2项,所以)

问题时呢?

(当时,等式也是成立的,因而等差数列的通项公式为

师点评:这种求通项的方法称为累加法,它是求数列通项的常见方法之一.根据这个通项公式,只要已知首项和公差,便可求得等差数列的任意项.

思考在等差数列的通项公式中,与的关系与以前所学过的什么函数有关?

结论:因为,所以,如果记,则可以看出,而且有

（1）当公差时,是常数函数,此时数列是常数列(因此,公差为0的等差数列是常数列);

（2）当公差时,是一次函数,而且的增减性依赖于公差的符号,因此,当时,是递增数列;当时,是递减数列.

这也说明,当用直角坐标系中的点来表示等差数列时,所有的点一定在一条直线上.

4.等差数列的性质

思考已知数列是等差数列,那么:

（1）是否成立?呢?为什么?

（2）是否成立?据此你能得到什么结论?

（3）是否成立?你又能得到什么结论?

结论:(性质)一般地,如果是等差数列,而且正整数满足,则.特别地,如果,则.

学生代表尝试给出等差数列的定义其他同学补充修正.

生解释.

问题2，3生口答.

生口答.

生口答.

齐答.

生口答.

齐答.

齐答.

齐答.

学生分组讨论，3分钟后选一小组代表投影展示小组