初中数学竞赛 15乘法公式..pdfVIP

初中数学竞赛辅导资料(15

乘法公式

甲内容提要

1.乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总

结,直接应用。

公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式,有的还可以推广到

分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开,还可以由右到左逆用(因式分解,

还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2.基本公式就是最常用、最基礎的公式,并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式:(a±b2=a2±2ab+b2,

平方差公式:(a+b(a-b=a2-b2

立方和(差公式:(a±b(a2ab+b2=a3±b3

3.公式的推广:

①多项式平方公式:(a+b+c+d2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理:(a±b3=a3±3a2b+3ab2±b3

(a±b4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4

(a±b5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3+5ab4±b5

…………

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律

③由平方差、立方和(差公式引伸的公式

(a+b(a3-a2b+ab2-b3=a4-b4

(a+b(a4-a3b+a2b2-ab3+b4=a5+b5

(a+b(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5=a6-b6

…………

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律

在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数

(a+b(a2n-1-a2n-2b+a2n-3b2-…+ab2n-2-b2n-1=a2n-b2n

(a+b(a2n-a2n-1b+a2n-2b2-…-ab2n-1+b2n=a2n+1+b2n+1

类似地:

(a-b(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1=an-bn

4.公式的变形及其逆运算

由(a+b2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b2-2ab

由(a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b得a3+b3=(a+b3-3ab(a+b

由公式的推广③可知:当n为正整数时

an-

bn能被a-b整除,

a2n+1+b2n+1能被a+b整除,

a2n-b2n能被a+b及a-b整除。

乙例题

例1.己知x+y=axy=b

求①x2+y2②x3+y3③x4+y4④x5+y5

解:①x2+y2=(x+y2-2xy=a2-2b

②x3+y3=(x+y3-3xy(x+y=a3-3ab

③x4+y4=(x+y4-4xy(x2+y2-6x2y2=a4-4a2b+2b2

④x5+y5=(x+y(x4-x3y+x2y2-xy3+y4

=(x+y[x4+y4-xy(x2+y2+x2y2]

=a[a4-4a2b+2b2-b(a2-2b+b2]

=a5-5a3b+5ab2

例2.求证:四个連续整数的积加上1的和,一定是整数的平方。

证明:设这四个数分别为a,a+1,a+2,a+3(a为整数

a(a+1(a+2(a+3+1=a(a+3(a+1(a+2+1=(a2+3a(a2+3a+2+1

=(a2+3a2+2(a2+3a+1=(a2+3a+12

∵a是整数,整数的和、差、积、商也是整数

∴a2+3a+1是整数证毕

例3.求证:2222+3111能被7整除

证明:2222+3111=(22111+3111=4111+3111

根据a2n+1+b2n+1能被a+b整除,(见内容提要4

∴4111+3111能被4+3整除

∴2222+3111能被7整除

例4.由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律

解:∵(10a+52=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1+25

∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是:幂的末两位数字是底数个位数

字5的平方,幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。

如:152=225幂的百位上的数字2=1×2,252=625(6=2×3,352=1225(12=3×4

452=2025(20=4×5

……

丙练习15

1.填空: