人教A版高中数学选择性必修第二册5．3.1函数的单调性课件.ppt

5．3导数在研究函数中的应用5．3.1函数的单调性[新课程标准]1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．3．通过对函数单调性的判断，培养学生数学运算、数学抽象和直观想象的核心素养．(一)教材梳理填空1．函数的单调性与其导函数正负的关系在某个区间(a，b)上，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调；在某个区间(a，b)上，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调；如果在区间(a，b)上恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上是常数函数．递增递减2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较，函数的图象就比较“”．陡峭平缓[微思考]在区间(a，b)内，若f′(x)0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．(二)基本知能小试1．判断正误(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增． ()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． ()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大． ()答案：(1)×(2)×(3)√2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 ()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案：D3．函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．答案：上升题型一判断或讨论函数的单调性[学透用活](1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)0，则f(x)在此区间上仍然单调递增（单调递减的情形完全类似）．(2)f(x)在(a，b)上单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)上的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.1．利用导数判断或证明函数单调性的思路2．含有参数的函数单调性的解题技巧讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论，但要始终注意定义域以及分类讨论的标准．含参数的二次不等式问题，一般从最高次项的系数、判别式Δ及根的大小关系等方面进行讨论．又函数f(x)是奇函数，而奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性．综上所述，当b0时，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当b0时，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．(3)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋6x.令f′(x)0，得0x2；令f′(x)0，得x0或x2.∴f(x)在(0,2)上单调递增，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．求可导函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)解不等式f′(x)0(或f′(x)0)，并写出解集；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．题型三已知函数的单调性求参数范围[探究发现]1．若已知函数f(x)在[a，b]上为增函数，那么其导函数f′(x)在[a，b]的值如何？提示：f′(x)≥0.2．若已知函数f(x)在[a，b]上为减函数，那么其导函数f′(x)在[a，b]的值如何？提示：f′(x)≤0.[解]法一直接法f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．当a－11，即a2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．法三转化为不等式的恒成立问题f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(