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广州六中2023-2024学年高三第三次调研
数学
本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3.非选择题是必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和徐改液，不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
一、单选题（本大题8小题，每小题5分，共40分）
1．已知复数（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（????）
A．i B． C．1 D．
2．已知集合，则集合的真子集个数为（???）
A． B． C．7 D．8
3．在平行四边形中，，，则（????）
A． B．
C． D．
4．若函数为奇函数，则（????）
A． B． C． D．
5．已知首项为，公比为q的等比数列，其前n项和为，则“”是“单调递增”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数的图象大致为（????）
A． B．
C． D．
7．已知矩形ABCD中，，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于（????）
A． B． C． D．
8．已知A，B，C，D是椭圆E：上四个不同的点，且是线段AB，CD的交点，且，若，则直线l的斜率为（????）
A． B． C． D．2
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列结论正确的是（????）
A．若，则
B．若，则的最小值为2
C．若，则的最大值为2
D．若，则
10．已知点为双曲线上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，则（）
A．
B．
C．
D．的最大值为
11．已知正方体，点满足，下列说法正确的是（????）
??
A．存在无穷多个点，使得过的平面与正方体的截面是菱形
B．存在唯一一点，使得平面
C．存在无穷多个点，使得
D．存在唯一一点，使得平面
12．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（????）
A．若，则的外接圆的面积为
B．若，且有两解，则b的取值范围为
C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若，且，O为的内心，则的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列的前项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为.
14．若的展开式中只有第项的系数最大，则该展开式中的常数项为．
15．已知球的表面积为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则该正四棱锥体积的最大值为.
16．若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为.
解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（本题10分）已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和为．
18．（本题12分）在中，角，，对应的边分别为，，且.
(1)求角；
(2)，，点在上，，求的长.
19．（本题12分）如图1，已知正三角形边长为4，其中，现沿着翻折，将点翻折到点处，使得平面平面为中点，如图2.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
20．（本题12分）已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.
(1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：.
21．（本题12分）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点A，B和M，N.设线段，的中点分别为P，Q，求证：直线恒过一个定点.
22．（本题12分）已知函数，.
(1)讨论的单调性.
(2)是否存在两个正整数，，使得当时，？若
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