11.2锥体（第2课时）（解析版）.docx

11.2锥体（第2课时）

分层练习

题型1：锥体的体积计算

1．正四棱锥的所有棱长均为1，则它的体积是.

【答案】

【分析】根据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得、的长，根据椎体体积公式，即可得答案.

【解析】

如图所示，正四棱锥棱长均为1，连接AC、BD交于点O，连接PO

根据正四棱锥的性质，可得平面ABCD.

所以，，

所以正四棱锥的体积.

故答案为:.

2．底面边长和侧棱长都是的正三棱锥的体积是．

【答案】

【分析】分别计算底面积和高，然后代入体积公式即可完成求解.

【解析】??

如图，记底面的中心为，则为正三棱锥的高.

因为，所以，

所以，又因为底面积为：，

所以.

故答案为：

3．已知圆锥侧面展开图的周长为，面积为，则该圆锥的体积为．

【答案】或

【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径、母线长，进而求出高即可计算作答.

【解析】设圆锥的底面圆半径为，母线长，则圆锥侧面展开图扇形弧长为，

依题意，，即，解得或，

当时，圆锥的高，体积为，

当时，圆锥的高，体积为，

所以该圆锥的体积为或.

故答案为：或

4．已知正三棱锥的底面边长为，体积为，则底面的中心O到侧面PAB的距离是.

【答案】/

【分析】延长交于，则是中点，过作于，可证明平面，在正棱锥中求得长即可．

【解析】如图，延长交于，则是中点，且，连接，

平面，平面，∴，同理，

，平面，∴平面，

过作于，即平面，则，

，平面，∴平面，的长即为O到侧面PAB的距离，

由已知，,

在中，，

，．

故答案为：．

5．如图，已知正三棱锥的顶点S在一个半球面上，底面的三个顶点在半球底面的圆周上，若，则该三棱锥的体积为．

【答案】/

【分析】根据题意求出半球的半径，根据棱锥的体积公式即可求得答案。

【解析】设半球的半径为R，

∵底面为正三角形，正三棱锥各顶点都在半球面上，

其中三顶点在底面圆周上，设O为底面三角形的中心，

为正三棱锥的高，连接,,

∴,即，

所以三棱锥的体积为，

故答案为：

6．把和所围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体体积为.

【答案】/

【分析】根据和的图象围成的封闭平面图形是等腰三角形，且该三角形绕轴旋转一周所得几何体为圆锥，由此求出该几何体的体积．

【解析】因为和的图象围成的封闭平面图形是等腰三角形，将代入可得，

则等腰三角形的底面边长为2，高为1，

该三角形绕轴旋转一周所得几何体是一个圆锥，

所以该几何体的体积为．

故答案为：.

7．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为的正六棱锥（如图所示）当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心的距离为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设为，则，根据题意，可得正六边形的面积为S的表达式，进而可得帐篷的体积为V的表达式，利用导数，即可求得V的单调性和极值点，即可求得答案.

【解析】设为，则，

设底面正六边形的面积为，帐篷的体积为.

则由题设可得，正六棱锥底面边长为，

于是，

所以

，

则.

令，解得或（舍去）.

当时，，V单调递增；

当时，，V单调递减.

所以当（m）时，V最大.

故选：D.

8．已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成，两个圆锥的顶点分别为，，底面半径为．若，则该几何体的体积最大时，以为半径的球的体积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可知该几何体的体积为，令，求导得到当时取得最大值，从而利用球的体积公式即可求解.

【解析】由题意可知该几何体的体积为，

令，则，

令，得（舍去），

则时，，单调递增，时，，单调递减，

故当时，取得最大值，此时该几何体的体积最大．

则以2为半径的球的体积为．

故选：C．

9．如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为（）

??

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据线面夹角分析可得圆锥的母线，利用等体积法求点到面的距离.

【解析】因为AB是直径，则，且AB=8，∠BAC=30°，

可得，

又因为底面圆O，则圆锥的母线与底面成的角为，

可知为等边三角形，所以圆锥的母线，

设点A到平面PBC的距离为h，

利用等体积法，即，

解得，即点A到平面PBC的距离为.

故选：C.

10．《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的成系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h计算其体积V的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3．那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近