2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义专题17 二次函数与一元二次方程、不等式（教师版）.docx

专题17二次函数与一元二次方程、不等式

【知识点梳理】

知识点一：一元二次不等式的概念

一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．

知识点二：二次函数的零点

一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.

知识点三：一元二次不等式的解集的概念

使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．

知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.

二次函数

()的图象

有两相异实根

有两相等实根

无实根

知识点诠释：

(1)一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；

(2)表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

(3)解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.

知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤

(1)选取合适的字母表示题中的未知数；

(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；

(3)求解所列出的不等式(组)；

(4)结合题目的实际意义确定答案．

知识点六：一元二次不等式恒成立问题

(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立

(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.

知识点七：简单的分式不等式的解法

系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”

【题型归纳目录】

题型一：解不含参数的一元二次不等式

题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇

题型三：含有参数的一元二次不等式的解法

题型四：一次分式不等式的解法

题型五：实际问题中的一元二次不等式问题

题型六：不等式的恒成立与有解问题

题型七：一元二次方程根的分布问题

【典例例题】

题型一：解不含参数的一元二次不等式

例1．(2023·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试)解不等式：

(1)；

(2).

【解析】(1)由得，即，

，

，

即不等式的解集为；

(2)由得，

即，不可能成立，

即不等式的解集为.

例2．(2023·全国·高一专题练习)求解下列不等式的解集：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5).

【解析】(1)由可得，解得或，

故原不等式的解集为或.

(2)由可得，解得，

故原不等式的解集为.

(3)由可得，即，解得，

故原不等式的解集为.

(4)由可得，解得，

故原不等式的解集为.

(5)由可得，解得，

故原不等式的解集为.

例3．(2023·高一课时练习)不等式的解集是___________________.

【答案】

【解析】整理得，

∵抛物线开口向上，，

所以原不等式的解集为．

故答案为：

变式1．(2023·高一课时练习)的解集为___________________.

【答案】或

【解析】因为，

所以，

即，

所以或.

所以不等式的解集为或.

故答案为：或

变式2．(2023·高一课时练习)不等式的解集为___________________.

【答案】或

【解析】原不等式等价于,

所以，

即或，

故原不等式的解集为或.

故答案为：或

变式3．(2023·高一课时练习)不等式2x2＋x－150的解集为________．

【答案】

【解析】由2x2＋x－15＝(2x－5)(x＋3)0，得，

∴原不等式的解集为.

故答案为：.

题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇

例4．(2023·高一课时练习)已知不等式的解集为，则不等式的解集为______．

【答案】

【解析】因为不等式的解集为，

所以，可得，

所以可化为，

因为，所以可化为，

即，解得：或，

所以不等式的解集为.

故答案为：.

例5．(2023·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习)已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为___．

【答案】

【解析】由已知得，和2是的两个解，且a0.则由韦达定理知，

???解得，

则可化为

∵a0???∴不等式化为

解得，或

所以，不等式的解集为

故答案为：.

例6．(2023·青海海东·高一校考期中)已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是___________.

【答案】

【解析】如图是函数的图象(图中隐去了轴)，

为的两根，为与轴交点的横坐标.为的根，为与交点的横坐标，.

故答案为：.

变式4．(2023·高一课时练习)已知不等式的解集是，，则不等式的解集是____________.

【答案】

【解析】由不等式的解集是，可知：

，是一元二次方程的实数根，且；

由根与系数的关系