2024年高中数学新高二暑期衔接讲义第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系（九大题型）（学生版）.docxVIP

第16讲直线和圆锥曲线的位置关系

【题型归纳目录】

题型一：直线与椭圆的位置关系

题型二：椭圆的弦

题型三：椭圆的综合问题

题型四：直线与双曲线的位置关系

题型五：双曲线的弦

题型六：双曲线的综合问题

题型七：直线与抛物线的位置关系

题型八：抛物线的弦

题型九：抛物线的综合问题

【知识点梳理】

知识点一：直线与椭圆的位置关系

平面内点与椭圆的位置关系

椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M(x，y)，

若点M(x，y)在椭圆上，则有；

若点M(x，y)在椭圆内，则有；

若点M(x，y)在椭圆外，则有.

直线与椭圆的位置关系

将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；

②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；

③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．

直线与椭圆的相交弦

设直线交椭圆于点两点，则

==

同理可得

这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

知识点三、直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系

将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

若即，

①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；

②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；

③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．

直线与双曲线的相交弦

设直线交双曲线于点两点，则

==

同理可得

这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

双曲线的中点弦问题

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.

在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；

涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.

解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.

知识点四、直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系

将直线的方程与抛物线的方程y2=2px(p＞0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；

若

①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点；

②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；

③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．

直线与抛物线的相交弦

设直线交抛物线于点两点，则

==

同理可得

这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

抛物线的焦点弦问题

已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：

焦点弦长

②

③，其中|AF|叫做焦半径，

④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。

【典例例题】

题型一：直线与椭圆的位置关系

例1．(2023·全国·高三对口高考)若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为(????)

A． B． C． D．

例2．(2023·全国·高三对口高考)若直线被圆所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是(????)

A． B．

C． D．

例3．(2023·高二课时练习)已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆C:总有公共点，则椭圆C的离心率取值范围是()

A． B． C． D．

例4．(2023·上海浦东新·高二统考期中)已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为(????)

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

例5．(2023·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中)直线：与椭圆的位置关系是(????)

A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交

题型二：椭圆的弦

例6．(2023·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考开学考试)过椭圆：的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为______

例7．(2023·内蒙古包头·高二包头市第六中学校考期末)已知椭圆的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，则__________．

例8．(2023·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考阶段练习)是过椭圆右焦点的弦，则弦长的最小值为______

例9．(2023·上海金山·高二上海市金山中学校考期末)已知椭圆，斜率为1的直线过点其左焦点，且与椭圆交于、两点，则弦长_____．

例10．(2023·高二课时练习)椭圆的焦点为、，过O作直线交椭圆于A、B两点，若的面积为20，则直线AB的方程为______．

例11．(2023·广西钦州·高二校考阶段练习)已知椭圆中，，离心