人教A版高中数学（必修第二册）重难点题型讲练测 7.1 复数的概念（教师版）.doc

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专题7.1复数的概念（重难点题型精讲）

1．数系的扩充与复数的相关概念

(1)复数的引入

为了解决SKIPIF10+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：

①SKIPIF10=-1，即i是方程SKIPIF10+1=0的根；

②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.

在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果

记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.

(2)复数的概念

我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫

做复数集.这样，方程SKIPIF10+1=0在复数集C中就有解x=i了.

(3)复数的表示

复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.

(4)复数的分类

对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.

显然，实数集R是复数集C的真子集，即RSKIPIF10C.

复数z=a+bi可以分类如下：

复数SKIPIF10，

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.

2．复数相等

在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当

a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.

3．复数的几何意义

(1)复平面

根据复数相等的定义，可得复数z=a+biSKIPIF10有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)SKIPIF10平面

直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来

表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

(2)复数的几何意义——与点对应

由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一

的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+biSKIPIF10复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.

(3)复数的几何意义——与向量对应

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一

对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.

如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量SKIPIF10由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量SKIPIF10唯一确定.

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+biSKIPIF10平面向量SKIPIF10，这是复数的另一种几何意义.

4．复数的模

向量SKIPIF10的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它

的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=SKIPIF10(rSKIPIF100,r∈R).

5．共轭复数

(1)定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0

的两个共轭复数也复数z的共轭复数用SKIPIF10表示，即若z=a+bi，则SKIPIF10=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.

(2)几何意义

互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复

平面内所对应的点重合，且在实轴上.

(3)性质

①SKIPIF10=z.

②实数