4.2 指数函数（讲）（解析版）.docxVIP

4.2指数函数

1．指数函数的概念

(1)定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．

(2)注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：

①如果，当

②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．

③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．

为了避免上述各种情况，所以规定且．

【结构特征】

(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1.

2．指数函数的图象与性质

图象

性质

定义域

值域

过定点

单调性

在上是增函数

在上是减函数

奇偶性

非奇非偶函数

3．比较指数幂的大小

比较幂的大小的常用方法：

(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；

(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．

4．简单指数不等式的解法

(1)形如的不等式，可借助的单调性求解；

(2)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；

(3)形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。

一、指数函数的概念

【典例1】下列是指数函数的是（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对于选项A：，因为不满足底数且，故不是指数函数，故选项A不正确；

对于选项B：不满足指数函数前系数等于，故不是指数函数，故选项B不正确；

对于选项C：没有指出的范围，当且时才是指数函数，故选项C不正确；

对于选项D：是指数函数，故选项D正确，故选：D．

【典例2】已知指数函数的图象经过点，则．

【答案】

【解析】设指数函数，，把点代入，得，解得，，

故答案为：．

【典例3】若函数是指数函数，则（）

A．且 B． C．或 D．

【答案】D

【解析】若函数是指数函数，则，解得，或，又指数函数的底数且，故，故选：．

【典例4】已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：根据指数函数性质知，解得，故选：C．

【典例5】若函数的图象与函数的图象关于y轴对称，则的表达式为．

【答案】

【解析】由题可知：函数的图象与函数的图象关于y轴对称，用来取代，则，故答案为．

1、下列各函数中，是指数函数的是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据指数函数的定义：形如的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项正确．故选：．

2、指数函数的图象经过点，则的值是（）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】由题意得，，故，故选：．

3、函数是指数函数，则（）

A．或B．C．D．且

【答案】C

【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得，故选：C

4、指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为指数函数在R上单调递减，所以，得，所以实数a的取值范围是，故选：D．

5、某种细菌每半小时分裂一次（一个分裂为两个），经过小时，这种细菌由个可繁殖（）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】D

【解析】根据题意知，该种细菌分裂的个数满足指数函数，经过3小时，细菌分裂6次，x＝6，

细菌分裂的个数为y＝26＝64，故选D．

二、指数函数的图像和性质

【典例1】函数的图象大致是（???????）

A．B．C． D．

【答案】D

【解析】由，得函数是以为底数的指数函数，且函数为减函数，故D选项符合题意，故选：D.

【典例2】函数的图象恒过的定点是．

【答案】

【解析】指数函数恒过定点，令得，此时，故函数的图象恒过的定点是，故答案为：．

【典例3】设，，，则，，的大小关系为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为函数为减函数，所以，即，又，所以．

故选：．

【典例4】如果函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则，解得，故选：B

【典例5】不等式的解集为．

【答案】

【解析】原不等式可化为：，即：，解得：，所以原不等式的解集是：．

故答案为：．

【典例6】函数，的值域为.

【答案】

【解析】由，可知指数函数在区间上单调递增，又，，

则函数，的值域为，故答案为：.

1、函数的图象大致为（???????）

A．