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湖北省各地2023届高三毕业班适应性练习卷数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数,其中,记函数满足条件:为事件,则事件发生的概率为
A. B.
C. D.
2.已知复数,其中,,是虚数单位,则()
A. B. C. D.
3.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()
A. B. C. D.
4.已知四棱锥的底面为矩形,底面,点在线段上,以为直径的圆过点.若,则的面积的最小值为()
A.9 B.7 C. D.
5.若为虚数单位,则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.已知当,,时,,则以下判断正确的是
A. B.
C. D.与的大小关系不确定
7.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},则=()
A.{3,5,6} B.{1,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,5,6}
8.已知函数,则()
A. B.1 C.-1 D.0
9.已知平面和直线a,b,则下列命题正确的是()
A.若∥,b∥,则∥ B.若,,则∥
C.若∥,,则 D.若,b∥,则
10.已知集合,集合,则().
A. B.
C. D.
11.直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A,B两点,则的最小值是
A.10 B.9 C.8 D.7
12.蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法,将所求解的问题同一定的概率模型相联系;用均匀投点实现统计模拟和抽样,以获得问题的近似解,故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为的正方形模型内均匀投点,落入阴影部分的概率为,则圆周率()
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点,且,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,若,则______________.
14.已知抛物线的焦点为,斜率为的直线过且与抛物线交于两点,为坐标原点,若在第一象限,那么_______________.
15.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为,侧面积为,则该棱锥的体积为__________.
16.在中,内角的对边长分别为,已知,且,则_________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知椭圆的焦距是,点是椭圆上一动点,点是椭圆上关于原点对称的两点(与不同),若直线的斜率之积为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是抛物线上两点,且处的切线相互垂直,直线与椭圆相交于两点,求的面积的最大值.
18.(12分)已知
(1)当时,判断函数的极值点的个数;
(2)记,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,求证:.
19.(12分)在边长为的正方形,分别为的中点,分别为的中点,现沿折叠,使三点重合,构成一个三棱锥.
(1)判别与平面的位置关系,并给出证明;
(2)求多面体的体积.
20.(12分)已知抛物线的顶点为原点,其焦点关于直线的对称点为,且.若点为的准线上的任意一点,过点作的两条切线,其中为切点.
(1)求抛物线的方程;
(2)求证:直线恒过定点,并求面积的最小值.
21.(12分)如图,在四面体中,.
(1)求证:平面平面;
(2)若,求四面体的体积.
22.(10分)如图,在正三棱柱中,,,分别为,的中点.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成二面角锐角的余弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
由得,分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系,由图可知,.
2.D
【解析】
试题分析:由,得,则,故选D.
考点:1、复数的运算;2、复数的模.
3.D
【解析】
试题分析:如图所示,截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.
考点:本题主要考查三视图及几何体体积的计算.
4.C
【解析】
根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定,根据勾股定理,得到之间的等量关系,再用表示出的面积,利用均值不等式即可容易求得.
【详解】
设,,则.
因为平面,平面,所以.
又,,所以
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