猜题07 第19题 实际应用题（题型归纳）（解析版）.docx

猜题07第19题实际应用题（题型归纳）

目录：一、函数的应用；二、导数的应用；三、基本不等式、解三角形的应用；四、数列的应用

一、函数的应用

一、解答题

1．（2021秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）已知某电子公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收人为万美元，且

(1)写出年利润（万美元）关于年产量（万部）的函数解析式（利润=销售收入成本）；

(2)当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.

【答案】(1)

(2)年产量为32万部时，利润最大，最大利润为6104万美元

【分析】（1）分段分别求出利润与的函数解析式，再写出分段函数的形式即可；

（2）当时，利用二次函数性质求的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，再比较两者大小，即可得到的最大值.

【解析】（1）当时，，

当时，，

∴．

（2）①当时，，

∴当时，，

②当时，

，

当且仅当，即时，等号成立，

即当时，，

综上所述，当时，取得最大值为6104万美元，

即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．

2．（2022春·上海黄浦·高三校考阶段练习）某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作．

(1)令，，求的取值范围；

(2)求的表达式；

(3)规定当时为综合污染指数不超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）时，分和两类讨论，当时，利用基本不等式求出的取值范围；

（2）当时，结合（1）去掉绝对值化简解析式，利用单调性比较端点值的大小，分类讨论得出的最大值的表达式；

（3）分和两种情况，分别解不等式，可得该市市中心的综合污染指数不超标时的范围．

【解析】（1），①当时，，

②当时，，

因为，当且仅当即时取等号，

所以，即，

综上所述，．

（2）当时，由（1）得，则，

所以，

于是，在时是严格减函数，在是严格增函数，

所以

因为，，

解，得，

所以当时，；

当时，，

即.

（3）由，得或或，

综上，．

所以，当时，综合污染指数不超标．

3．（2020秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本为万元.

(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台?

(2)现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分东.经实验知，每台机器人的日平均分拱量为，（单位:件）.已知传统的人工分拱每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拱量达最大时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几?

【答案】(1)600台；

(2).

【分析】由总成本,可得每台机器人的平均成本,然后利用基本不等式求最值;

(2)引进机器人后,由每台机器人的日平均分拣量,分段求出600台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数,再由最大值除以1200,可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数,则答案可求.

【解析】（1）由题意得每台机器人的平均成本为，

当且仅当，即时取等号，

则要使每台机器人的平均成本最低，应买600台.

（2）当时，每台机器人日平均分拣量，

当时，每台机器人的日平均分拣量最大值为480

当时，每台机器人的日平均分拣量仍为480，则引进600台机器人后，日平均分拣量的最大值为.

若用传统人工分拣288000件，则需要人，

因此，引进机器人后要降低物流成本，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少.

4．（2022·上海杨浦·统考一模）企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为I（x）万元．两者满足关系：

(1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值；

(2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）

(3)由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益、因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整，最终双方达到动态平衡（在对方当前产量不变的情况下，已方达到利润最大）求动态平衡时，两企业各自的产量和利润分别是多少．

【答案】(1)1965万元

(2)22.5万台

(3)甲