猜题05 第20题 圆锥曲线(上海精选归纳)（原卷版）_1.docx

猜题05第20题圆锥曲线(上海精选归纳)

一、解答题

1．（2022秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）设F为抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点.

(1)若，求此时直线l的方程；

(2)若与直线l垂直的直线过点F，且与抛物线C相交于点M，N，设线段AB，MN的中点分别为P，Q，如图1.求证：直线PQ过定点；

(3)设抛物线C上的点S，T在其准线上的射影分别为，，若的面积是△STF的面积的两倍，如图2.求线段ST中点的轨迹方程.

2．（2023·上海黄浦·统考一模）已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.动直线、都过点，斜率分别为k、，与椭圆C交于点A、P，与椭圆C交于点B、Q，点P、Q分别在第一、四象限且轴.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线与x轴交于点N，求证：；

(3)求直线AB的斜率的最小值，并求直线AB的斜率取最小值时的直线的方程.

3．（2021秋·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）已知椭圆，直线，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆的上顶点，为直角三角形，且到椭圆的右顶点的距离为，点为上的动点，直线交椭圆于两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)求的面积的取值范围；

(3)设，，直线，判断直线是否经过定点，若存在，请求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.

4．（2021秋·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）已知点为双曲线的左右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且的面积为.圆的方程是.

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值；

(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点，中点为，若恒成立，试确定圆半径.

5．（2021·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）如图，椭圆、双曲线中心为坐标原点，焦点在轴上，且有相同的顶点，，的焦点为，，的焦点为，，点，，，，恰为线段的六等分点，我们把和合成为曲线，已知的长轴长为4.

(1)求曲线的方程；

(2)若为上一动点，为定点，求的最小值；

(3)若直线过点，与交于，两点，与交于，两点，点、位于同一象限，且直线，求直线的方程.

6．（2020秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于两点，其中与轴交点的横坐标是.

(1)证明:;

(2)求的最大值，并求此时双曲线的方程;

(3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点;如果不是，说明理由.

7．（2021秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)设抛物线上的点在其准线上的射影分别为，若的面积是的面积的2倍，求线段中点的轨迹方程.

(3)设过点的直线交抛物线于两点，斜率为的直线与直线轴依次交于点且，求直线在轴上截距的范围.

8．（2023·上海静安·统考一模）已知椭圆：（）的离心率为，它的上顶点为，左、右焦点分别为，（常数），直线，分别交椭圆于点，．为坐标原点．

(1)求证：直线平分线段；

(2)如图，设椭圆外一点在直线上，点的横坐标为常数（），过的动直线与椭圆交于两个不同点、，在线段上取点，满足，试证明点在直线上．

9．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知椭圆的左右焦点分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.设是第一象限内上的一点，的延长线分别交于点.

(1)求椭圆的方程.

(2)求面积的取值范围.

(3)设分别为的内切圆半径，求的最大值.

10．（2021秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）设抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，已知.

(1)求抛物线的方程；

(2)过点作方向向量为的直线与曲线相交于，两点，求的面积并求其值域；

(3)设，过点作直线与曲线相交于，两点，问是否存在实数使为钝角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

11．（2022春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）设双曲线的方程为.过其右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，直线的方程为，在直线上的射影分别为.

(1)当垂直于轴，时，求四边形的面积；

(2)当，的斜率为正实数，在第一象限，在第四象限时，试比较和的大小，并说明理由；

(3)是否存在实数，使得对满足题意的任意直线，直线和直线的交点总在轴上，若存在，求出所有的的值和此时直线与交点的位置；若不存在，说明理由.

12．（2022·上海奉贤·统考一模）已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左?右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点.