2025年九年级中考数学一轮复习考点突破：二次函数中相似三角形问题.docx

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2025年九年级中考数学一轮复习考点突破：

二次函数中相似三角形问题

1．如图，抛物线与轴交于点、B4,0两点，与轴交点，连接，顶点为．

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；

(2)已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标．

(3)如图2，若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标．

2．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当面积最大时，求M点的坐标；

(3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接．

(1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式；

(2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标．

(3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标．

4．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为．

(1)求抛物线的表达式．

(2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标；

(3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值；

(4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．

(1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标；

(2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标；

(3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标．

6．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点点和点，与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)如图1，连结，，求的面积的最大值；

(3)如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B4,0，与y轴交于点C0,?3

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是直线下方抛物线上且位于抛物线的对称轴右侧的一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点D，过点P作于点E，求的最大值及此时点P的坐标；

(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该地物线沿射线方向平移个单位长度，点F为点P平移后的对应点，连接，点M为平移后的抛物线上一点，若，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．

8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM．

①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形；

②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标．

9．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，．

(1)求该抛物线及直线的函数表达式；

(2)如图2，在上方的抛物线上有一动点P（不与B，C重合），过点P作，交于点D，过点P作轴，交于点E．在点P运动的过程中，请求出周长的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点，一次函数图象与轴相交于点．

(1)求二次函数与一次函数的解析式；

(2)如果点在线段上（不与重合），与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，，求点的坐标；

(3)当点在直线上的一个动点时，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，以点、为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由．

11．如图，抛物线y=，过点，，与y轴交于点C，P为x轴上方抛物线上的动点，设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式．

(2)如图（1）若直线把的面积分成1∶2的两部分，求m的值．

(3)如图（2）若直线PA与直线BC相交于点M，且．

①试求d关