专题17 概率及随机变量的分布列（解密讲义）（解析版）_1.docx

专题17概率及随机变量的分布列（解密讲义）

【知识梳理】

【考点1】概率

1.样本点和样本空间

随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω.

2.概率与频率

(1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率eq\f(m,n)，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).

(2)概率与频率的关系：概率可以通过概率来“测量”，频率是频率的一个近似.

3.事件的关系与运算

定义

符号表示

包含关系

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)

B?A

(或A?B)

相等关系

若B?A且A?B

A＝B

并事件

(和事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)

A∪B(或A＋B)

交事件

(积事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

A∩B(或AB)

互斥事件

若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥

A∩B＝?

对立事件

若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件

A∩B＝?

P(A∪B)＝1

4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率P(E)＝1.

(3)不可能事件的概率P(F)＝0.

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).

②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).

5.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

6.古典概型

具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.

(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.

(2)每一个试验结果出现的可能性相同.

3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是eq\f(1,n)；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).

7.古典概型的概率公式

P(A)＝eq\f(事件A包含的可能结果数,试验的所有可能结果数).

方法技巧：

1、古典概型计算三步曲：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.

2、确定基本事件个数的方法：列举法、列表法、树状图法或利用排列、组合.

3、古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(n(AB),n(A))，其中，在实际应用中P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A))是一种重要的求条件概率的方法.

【考点2】随机变量的分布列

1.离散型随机变量

如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列及性质

(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.

(2)离散型随机变量分布列的性质：

①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；

③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.

3.常见离散型随机变量的分布列

(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为

X

1

0

P

p

q

其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布.

(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.

4.条件概率及其性质

条件概率的定义

条件概率公式

对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”表示

P(B|A)＝eq\f(P（A∩B）,P（A）)，其中P(A)0，A∩B称为事件A与B的交(或积)

5.事件的独立性

(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有