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第三章三角恒等变换
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1两角差的余弦公式
课后篇巩固探究
1.已知sinπ6+α=
A.-14B.1
解析cosα+3sinα=21
=2cosπ3-
=2sinπ6
答案B
2.若a=(cos100°,sin100°),b=(cos10°,sin10°),则a·b=()
A.cos110° B.sin110° C.1 D.0
解析a·b=cos100°cos10°+sin100°sin10°=cos(100°-10°)=cos90°=0.
答案D
3.计算cosπ
A.2 B.-2 C.22 D.-
解析cos
=22
答案C
4.满足sinαsinβ=-cosαcosβ的一组值是()
A.α=β=90° B.α=18°,β=72°
C.α=130°,β=40° D.α=140°,β=40°
解析由sinαsinβ=-cosαcosβ可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,k∈Z,只有C项符合.
答案C
5.若sinα-sinβ=32,cosα-cosβ=1
A.12 B.32 C.
解析由sinα-sinβ=32,cosα-cosβ=12,得sin2α+sin2β-2sinαsinβ=34,cos2α+cos2β-2cosαcosβ=14,以上两式相加得2-2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1,所以sinαsinβ+cosαcosβ=
答案A
6.化简cos(α-55°)·cos(α+5°)+sin(α-55°)·sin(α+5°)=.?
解析原式=cos[(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=12
答案1
7.若cosθ=-1213,θ∈π,3π2,则cos
解析∵cosθ=-1213,θ∈π,3π2,
∴cosθ-π4=cosθcos
=-1213×2
答案-17
8.若0απ2,-π2β0,cosπ4+α=13
解析因为0απ2,所以π4
又cosπ4+α=
因为-π2β0,所以π
又cosπ4-β
于是cosα+β2=cos
cosπ4+αcosπ4-β
13
答案5
9.若x∈π2,π,且sinx=4
解因为x∈π2,π,sinx=4
于是2cosx-
=2cosxcos2π
=2-1
=3sinx+cosx=43
10.已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sin
解∵α,β∈3π4
∴α+β∈3π2,2π
又∵sin(α+β)=-35,sinβ
∴cos(α+β)=1-
cosβ-π4=-1
∴cosα+π4
=cos(α+β)cosβ-π
=45×-
11.如图,在平面直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于点P0,以Ox为始边分别作出角α,β,α-β,其终边分别和单位圆交于点P1,P2,P3.由|P0P3
解易知P0(1,0),P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ),P3(cos(α-β),sin(α-β)),
则P0
P2
又|P0P3|=|P2P1|,即|P0
所以[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2,
化简得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
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