人教A版高中数学必修4课后习题 第三章 3.1.1 两角差的余弦公式.docVIP

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第三章三角恒等变换

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.1两角差的余弦公式

课后篇巩固探究

1.已知sinπ6+α=

A.-14B.1

解析cosα+3sinα=21

=2cosπ3-

=2sinπ6

答案B

2.若a=(cos100°,sin100°),b=(cos10°,sin10°),则a·b=()

A.cos110° B.sin110° C.1 D.0

解析a·b=cos100°cos10°+sin100°sin10°=cos(100°-10°)=cos90°=0.

答案D

3.计算cosπ

A.2 B.-2 C.22 D.-

解析cos

=22

答案C

4.满足sinαsinβ=-cosαcosβ的一组值是()

A.α=β=90° B.α=18°,β=72°

C.α=130°,β=40° D.α=140°,β=40°

解析由sinαsinβ=-cosαcosβ可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,k∈Z,只有C项符合.

答案C

5.若sinα-sinβ=32,cosα-cosβ=1

A.12 B.32 C.

解析由sinα-sinβ=32,cosα-cosβ=12,得sin2α+sin2β-2sinαsinβ=34,cos2α+cos2β-2cosαcosβ=14,以上两式相加得2-2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1,所以sinαsinβ+cosαcosβ=

答案A

6.化简cos(α-55°)·cos(α+5°)+sin(α-55°)·sin(α+5°)=.?

解析原式=cos[(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=12

答案1

7.若cosθ=-1213,θ∈π,3π2,则cos

解析∵cosθ=-1213,θ∈π,3π2,

∴cosθ-π4=cosθcos

=-1213×2

答案-17

8.若0απ2,-π2β0,cosπ4+α=13

解析因为0απ2,所以π4

又cosπ4+α=

因为-π2β0,所以π

又cosπ4-β

于是cosα+β2=cos

cosπ4+αcosπ4-β

13

答案5

9.若x∈π2,π,且sinx=4

解因为x∈π2,π,sinx=4

于是2cosx-

=2cosxcos2π

=2-1

=3sinx+cosx=43

10.已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sin

解∵α,β∈3π4

∴α+β∈3π2,2π

又∵sin(α+β)=-35,sinβ

∴cos(α+β)=1-

cosβ-π4=-1

∴cosα+π4

=cos(α+β)cosβ-π

=45×-

11.如图,在平面直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于点P0,以Ox为始边分别作出角α,β,α-β,其终边分别和单位圆交于点P1,P2,P3.由|P0P3

解易知P0(1,0),P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ),P3(cos(α-β),sin(α-β)),

则P0

P2

又|P0P3|=|P2P1|,即|P0

所以[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2,

化简得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

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