专题06 立体几何小题综合-【冲刺双一流之小题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之小题必刷满分冲刺 （上海专用） 解析版.docx

专题06立体几何小题综合

一、填空题

1．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为________．

【答案】

【分析】根据扇形弧长与底面半径关系得，解出弧长，最后利用侧面积公式即可.

【详解】设圆锥的母线为,则,所以,

则圆锥的侧面积为.

故答案为：.

2．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若某圆锥高为3，其侧面积与底面积之比为，则该圆锥的体积为________.

【答案】

【分析】由题意可列出关于圆锥底面半径和母线的方程组，解方程组即可求得底面半径和母线，从而可求圆锥的体积.

【详解】设此圆锥的底面半径为，母线长为，则，

因为圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的半径是圆锥母线长，所以，，又侧面积与底面积之比为，

所以，所以，结合可解得，，

所以该圆锥的体积.

故答案为：

??

3．（2023·上海·统考模拟预测）若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值为____．

【答案】

【分析】利用基本不等式及圆柱的侧面积计算公式即可得出．

【详解】如图所示，不妨设矩形的长与宽分别为，，

旋转形成的圆柱的底面半径为，母线长，

则，即，

，得，当且仅当时取等号，

旋转形成的圆柱的侧面积，

旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为．

故答案为：．

4．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为________.

【答案】

【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆锥的侧面展开图求得，结合圆锥的表面积公式，即可得答案.

【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

因为圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，

故，则，

故该圆锥的表面积为，

故答案为：

5．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）如图，在正四棱锥中，，则正四棱锥的体积为__________.

????

【答案】/

【分析】首先求四棱锥的高，再根据体积公式，即可求解.

【详解】作平面，垂足为点，点为正方形的中心，连结，

，，所以，

??

所以四棱锥的体积.

故答案为：

6．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________．

【答案】

【分析】计算出圆锥的底面半径，进而可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得该圆锥的体积.

【详解】设圆锥的底面半径为，扇形的圆心角为，由题意可得，解得，

该圆锥的高为,

因此，该圆锥的体积为.

故答案为：.

7．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）圆柱容器内部盛有高度为2的水，若放入一个圆锥（圆锥的底面与圆柱的底面正好重合）后，水恰好淹没圆锥的顶部，则圆锥的高为__________．

【答案】3

【分析】设圆柱的底面半径为r，圆锥的高为，根据体积关系列方程求解即可.

【详解】设圆柱的底面半径为r，圆锥的高为，则有，

解得.

故答案为：3.

8．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）如图所示，是长方体，其中，，点是棱上一点，若异面直线与互相垂直，则_________．

??

【答案】/0.5

【分析】构造平行使异面直线夹角化为共面直线夹角，在平面中解边长即可.

【详解】如图所示，作，连接AF，则，且AD=EF，

即四边形ADEF为平行四边形，所以AF⊥，

故在矩形中，

解得

故答案为：

??

9．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）在中，，，，将绕边AB旋转一周，所得到几何体的体积为_________.

【答案】

【分析】绕直线AB旋转一周，所得几何体是底面是以BC为半径的圆，高为AB的圆锥，由此根据圆锥的体积公式能求出其体积.

【详解】因为在直角三角形中，，，，

所以绕直线AB旋转一周所得几何体是底面是以BC为半径的圆，高为AB的圆锥，示意图如下图所示：

????

所以绕直线AB旋转一周所得几何体的体积为.

故答案为:．

10．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）已知正方形ABCD的边长是1，将沿对角线AC折到的位置，使（折叠后）A、、C、D四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为______．

【答案】

【分析】首先确定三棱锥体积最大时，二面角为，再根据边长求三棱锥的表面积.

【详解】在翻折过程中，三棱锥的底面始终是，故当二面角为时，三棱锥的体积最大，

如图，取的中点，连结，由题意可知，，，

则，且，所以，

所以和是边长为1的等边三角形，,

和是等腰直角三角形，

所以三棱锥的表面积为.

??

故答案为：

11．（2023春·上海宝山·高三上海交大