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《椭圆》知识拓展

知识要点

1.椭圆的概念

平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.集合,其中,且为常数.当时,点的轨迹是椭圆.

2.椭圆的标准方程

(1)中心在原点,焦点在轴上:.

(2)中心在原点,焦点在轴上:.

3.椭圆的简单几何性质(见拓展5)

问题探究

问题1在椭圆的定义中,椭圆上一动点到两定点的距离之和等于常数,且,若,则点的轨迹是什么?若,则点的轨迹是什么?

提示当时,点的轨迹是线段;当时,点的轨迹不存在.

问题2具有哪些特征的问题常利用椭圆的定义求解?

提示常利用椭圆的定义求解的问题:

(1)求解问题的结论中含有椭圆上的动点到焦点的距离;

(2)求解问题的条件中含有椭圆上的动点到焦点的距离.

问题3如何判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上?怎样设椭圆的方程?

提示椭圆的标准方程中,关于的分式,哪一项的分母大,焦点就在哪个坐标轴上.如果明确焦点在轴上,那么可设所求椭圆的方程为;如果明确焦点在轴上,那么可设所求椭圆的方程为;如果不能明确椭圆焦点的位置,那么可设椭圆方程的一般形式为,,它包含椭四焦点在轴上或在轴上两种情况.方程变形为,当,即时,焦点在轴上;当,即时,焦点在轴上.

问题4求椭圆的标准方程时建系是唯一的吗?课本上为什么要这样建系?

提示建系不唯一,一般是根据图形的对称性建系,这样写出来的方程比较简单,利于计算.

问题5当椭圆的离心率变化时,椭圆的形状如何变化?

提示和之间可以相互转化.由可推出.由可知,当接近1时,接近0,此时椭圆扁平;当接近0时,接近1,此时接近,椭圆接近圆.

椭圆的离心率可以理解为在椭圆的长轴长不变的前提下,两个焦点离开中心的程度,这样的规定会给今后研究圆锥曲线的性质带来方便.