专题10 抛物线及其方程（课时训练）解析版_1.docx

专题10抛物线及其方程

A组基础巩固

1．（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（????）

A．6 B．8 C．9 D．12

【答案】D

【分析】根据重心的性质可得，然后根据抛物线的定义可知即可求解.

【详解】解：由题意得：

F为ABC的重心

故

设点A，B，C的坐标分别为，，

抛物线，F为其焦点

故选：D

2．（2022·全国·高二单元测试）在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设出点的坐标，根据条件列出方程组即可求解

【详解】抛物线的顶点为，焦点为，

设符合题意，则有

，

即，解得，

所以符合条件的点为，

故选：D

3．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】将代入，求出点、的坐标，利用弦长求出，进而求得结果.

【详解】将代入，解得，

则、，

所以，解得，

则.

故选：C.

4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（????）

A．2 B． C． D．4

【答案】D

【分析】画出图像，利用抛物线的定义求解即可.

【详解】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，

由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，

解法1：因为轴，所以直线斜率，所以，

由解得，舍去，

所以.

解法2：在中，，则.

解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.

故选：D.

5．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等求解即可.

【详解】过点作与准线垂直，垂足为，，如图：

当最大时，取最大值，此时与抛物线相切.

∵抛物线的焦点，∴，

设切线方程为，则，∴，

由解得，，

∵点M在第一象限内，∴，直线方程为：.

故选：C.

6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（????）

A．3???? B．2???? C．1???? D．

【答案】A

【分析】求出的长，根据抛物线的定义可得．

【详解】设准线与轴交于点，则，，∴，

连接，则，又，所以是正三角形，

∴，准线的方程是，

∴点纵坐标为3.

故选：A

7．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线的方程，代入的方程，设，根据根与系数关系即可得出与的关系，通过抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知，代入即可转化为关于的二元一次方程，即可求解.

【详解】由题意知的方程为，代入的方程，得，设，则；因为，且，所以32，整理得，所以，结合，解得.

故选：D.

【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.

8．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用已知条件求出点坐标，代入面积公式求解即可．

【详解】已知点，设点，，又，故，故，，

故选：C

9．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线上的点到焦点的距离比到直线的距离小1，则=（????）

A． B． C．6 D．

【答案】D

【分析】由题可知抛物线的准线方程，进而可得抛物线方程，即得.

【详解】由题可知抛物线的准线方程为，

所以，即，

所以，

∴，

所以.

故选：D.

10．（2022·贵州·贵阳市白云区第二高级中学高二期末（理））抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点做直线与此抛物线交于，两点，若，则（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】根据抛物线标准方程，得到焦点坐标和准线方程，设出直线方程，联立抛物线方程，整理得到关于的一元二次方程，根据垂直，得到点的横坐标，根据韦达定理，得到的横坐标，在由抛物线的定义，可得答案.

【详解】由，则焦点，且准线方程为直线，即，

设过点的直线方程为，联立抛物线可得：，

消去可得：，化简得：，

因为，且直线过点，所以，

即点位于以线段为直径的圆上，

易知以线段为直径的圆的方程为，

将代入上式，可得，解得，（舍去），

则点的横坐标，设点