专题09 解析几何小题综合-【冲刺双一流之小题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之小题必刷满分冲刺 （上海专用） 解析版.docx

专题09解析几何小题综合

一、填空题

1．（2023春·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）直线的倾斜角的大小为__________.

【答案】

【分析】根据直线斜率和反三角函数即可求得.

【详解】由可知，直线斜率为，

因为，即，

所以倾斜角的大小为.

故答案为：

2．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）等轴双曲线的焦距为____.

【答案】

【分析】根据等轴双曲线定义得到，进而求出，得到焦距.

【详解】由题意得，，故，故，焦距为.

故答案为：

3．（2023·上海·模拟预测）已知的面积为，求______；

【答案】

【分析】利用配方法得到圆的半径，再利用圆的面积公式即可得解.

【详解】因为，可配方得，

又的面积为，

所以表示一个以为圆心的圆，其半径满足，

则，解得，

所以.

故答案为：.

4．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围是_________.

【答案】

【分析】方程表示焦点在轴上的椭圆的充要条件是，即可求解.

【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，

所以，解得.

故答案为：

5．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为______.

【答案】

【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.

【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线的倾斜角为，

设直线与抛物线交于两点，

则直线的方程为，代入得，

则，，，，，

则，

故答案为：

6．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的离心率为__________.

【答案】/

【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程为，且右焦点的坐标为，得到，结合两条渐近线均与圆相切，列出方程求得，进而求得的值，即可求得双曲线的离心率.

【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，即，

又由圆，可得圆心，半径为，

因为右焦点与圆心重合，所以双曲线的右焦点的坐标为，即，

又因为双曲线的两条渐近线均与圆相切，

可得，即，解得，所以，

所以双曲线的离心率为.

故答案为：.

7．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为_________.

【答案】或

【分析】分截距为和不为两种情况讨论即可得解.

【详解】由题知，若在轴、轴上截距均为，

即直线过原点，又过，则直线方程为；

若截距不为，设在轴、轴上的截距为，

则直线方程为，

又直线过点，

则，解得，

所以此时直线方程为.

故答案为：或

8．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知直线和，若，则__________.

【答案】

【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.

【详解】直线和，，

则，解得.

故答案为：.

9．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则__________.

【答案】

【分析】确定双曲线右焦点，得到，解得答案.

【详解】双曲线的右焦点为，则，.

故答案为：.

10．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）抛物线的准线与圆相交于A、B两点，则______．

【答案】2

【分析】首先求抛物线的准线方程，再根据直线与圆相交的弦长公式，即可求解.

【详解】的准线方程为，圆心到直线的距离为，

所以弦长.

故答案为：2

11．（2023·上海·统考模拟预测）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，其大小关系为________．

??

【答案】

【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，即可求解.

【详解】由题意，可得椭圆①，②的值相同，椭圆①的值小于椭圆②的值，

又由，可得，

根据双曲线的开口越大离心率越大，根据图象，可得，

所以.

故答案为：.

12．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为_______．

【答案】

【分析】根据题意，过点作，垂足为，过点，垂足为，根据抛物线的定义，转化为，结合图象，得到，当且仅当在一条直线上时，的最小值，即可求解.

【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为，

又由曲线，可化为，

可得圆心坐标为，半径，

过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于，如图所示，

根据抛物线的定义，可得，

要使得取得最小值，只需使得点与重合，此时与重合，

即，当且仅当在一条直线上时，

所以的最小值为.

故答案为：.

13．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是________．

【答案】

【分析】求得双曲线的渐近线方程，由双曲线与直线有公共点，应有渐近线