四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第十讲 染色与操作问题 竞赛篇(解析版)全国通用.pdfVIP

第十讲染色与操作问题

编写说明

本讲大部分内容都是上一讲思路的一个延伸！学习起来可能会比较抽象，教师多多形

象讲解帮助孩子们掌握理解最基本的思路方法.

染色问题

这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是

一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适

当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能

得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性，逻辑性较强，要注意学会几

种典型的染色问题.

【例1】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位

的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，

能办到吗?为什么？

分析：划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地

染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相

当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个

白格，个数不等，故不能办到．

【前铺】右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.

(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？

(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，

他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？

分析：（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A

点在水中.

（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水

中，所以不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的

次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么B点必定在岸上.

【巩固】某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)

上去，问这能否办到?

分析：将5×9长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每

位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有

23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．

【例2】右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相

通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?

分析：如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个黑格，7个白格．因为

每次

只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始．但

路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，

故无法实现不重复走遍．

【巩固】有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门

相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室

再从出口出来?

分析：如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能

黑格到白格或白格到黑格．入口和出口处都是白格，故路线

黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而

实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每

个展室．

【例3】在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角

的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋

出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小

屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？

分析：下图(1)中可以回到小屋，守园人只能黑白相间地走，走

到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第63棵树应

是白的，在小屋相邻的树都标注白色，所以可以回到小屋.

图(2)不行,从小屋出发,当走到80棵树应是黑色,而黑树与小

木屋不相邻，无法直接回到小木屋.

【例4】右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马.众所周知，马是走“日”字的.请

问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？

分析：马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规

律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○

和23个●.因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，

所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，

要跳奇数步。现在马在○点，要跳回这一点，