《方向导数和梯度》.pdfVIP

14.6方向导数和梯度

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一、方向导数

在许多实际问题中，常常需要知道函数

〔或函数〕在一点沿任何方向或某个方向的

变化率.例如,设表示某物体内点的温度,那么这

物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度(速

率);又如,要预报某地的风向和风力,就必须知道气压在

该处沿某些方向的变化率.为此,要引进多元函数在一

点沿一给定方向导数的概念.

这里以三各变量的函数为例.设

为一给定点,是从点出发的射线,它的方向向量

用来表示.设是射线上的任一点,的坐标

为

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其中是的方向余弦,是线段

的长度,在这段长度内,函数的平均变化率为

令趋于,这时如果

存在,那么称此极限为在点的方向导数,

记为或

例1设向量的方向余弦是

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于是沿方向的平均变化率为

下面我们给出方向导数的计算公式.

定理如果函数在一点可微,那

么

在点沿任何方向的方向导数都存在,并由

以下的求导公式

其中是的方向余弦.

例2对求在点沿方向

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的方向导数.

二、梯度

1.物理量的等量面(等量线)

我们在研究一个物理量在某一区域的分布

时,常常需要考察这区域中由相同物理量的点,也就是使

取相同数值的各点

其中是常数.这个方程在几何上表示曲面,我们称它

为等量面.当取不同数值时,所得到的等量面也不同.

如气象学中的等温面和等压面,电学中的等势面等等.

同样,对于含两个自变量的物理量那么有等量线.例

如在船体设计中用平行于基线面的平面将船体切割,它

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的截口曲线称为水线.在同一条水线上,其高度势相同的

因此这些水线就势等量线.在船体设计中,用它们来表

示船体线型在纵向的变化趋势.

此外,在地图上常常利用等高线来表示地面上的上

下起伏,在气象图上用等温线来表示地面上气温变化等

等,这些都是等量线.

2、梯度

现在从等量面(或等量线)出发,引出一个具有重要

意义的向量函数.

我们以气象预报中地面上的等压线为例.

在方向气压从点的(毫巴)过渡到气压为

的点距离是它比沿方向从变到气压

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为的点的距离小.所以按距离而言,气压沿

方向的平均增长率大于沿的平均增长率.显然,如

果在一个方向上的等压线密集,气压的变化率越大.可

见,在点沿不同的方向,其变化率将有所不同.

现在再作一般的讨论.设是一数量函数,等

量面为，设是等量面上的任一,它的法

线向