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排列

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点：排列和排列数公式，组合和组合数公式.

难点：推导组合数公式，排列与组合的应用.

三、教科书编写意图及教学建议

排列与组合是两类特殊的计数问题，是两个计数原理的典型应用.为了更好地表示和解决计数问题，教科书在计数原理的基础上，将实际问题中抽取的对象抽象为元素，引入了排列与组合的概念，然后用字母表示排列数和组合数，并给出了计算排列数和组合数的公式.在此过程中，体现了将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象，推导排列数与组合数公式的逻辑推理，将具体问题转化为排列数或组合数的数学建模，以及利用公式便捷求出计数结果的数学运算.

在教学时，要结合具体事例区别排列问题和组合问题，将实际计数问题抽象为排列或组合，并用排列数和组合数公式进行计算，提升学生数学抽象、数学运算和数学建模等素养.在计算过程中，还可以利用信息技术便捷地得出结果，并对不同计数方法进行检验.

6.2.1排列

1.问题的提出

本节从对上一节例8的解答过程的反思开始，在用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐，能否给出一种简捷的方法加以改进？为了引导学生对这类问题的结构进行分析，从而找到简捷的方法，本小节提出了两个求排列数的具体问题，并进行了详细的分析.

在问题1中，要完成的“一件事情”是“从3名同学中选出2名，并按上午在前下午在后的顺序排列”.问题2中，要完成的“一件事情”是“从4个数字中选3个，并按‘百位、十位、个位’的顺序排列”.

上述两个问题都可以用分步乘法计数原理解决，为学生概括排列概念提供了背景支持.只是问题2比问题1稍复杂.教师可以带领学生分析问题1解答的全过程，并让学生模仿问题1的解答过程完成问题2的解答.通过对比两个问题的解答，形成解决这类问题的结构，进而抽象出排列问题，并积累求一般的排列数公式的经验.

2.排列概念的抽象

教科书是通过问题1和问题2的具体背景，分以下两步抽象出排列的概念的：

第一步，将两个具体问题抽象为将元素排成一列的问题.首先，将问题1的对象“同学”和问题2的对象“数字”都抽象为“元素”；然后，将问题1一般化为“从3个不同元素中任取2个排成一列”的问题，将问题2一般化为“从4个不同元素中任取3个排成一列”的问题，并列出它们不同的排列和方法种数.

第二步，归纳两个具体问题的共同特点，将它们推广到一般情形，从而给出排列的概念.对比问题1和问题2，它们都属于“从一些不同元素中取出部分元素，并按一定的顺序排成一列”的问题，可归纳为“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照一定的顺序排成一列”,这样便得到了从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

定义中的n个元素是互不相同的，且抽取的m个元素是从n个元素中不重复地抽取的，因而这m个元素也是互不相同的.教学中可向学生指出，在研究排列问题时，是从一些不同元素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，又没有重复抽取同一元素的情况.

排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”.因此，排列要完成的“一件事情”就是“取出m个元素，再按顺序排列”.这里，学生可能对“一定顺序”的理解会有困难.教学可以结合具体问题向学生解释：在问题1中，由于“甲上午、乙下午”与“乙上午、甲下午”是两种不同的选法，因此一种选法与两名同学的顺序有关，这样，“上午在前、下午在后”就是“一定的顺序”，按照这个顺序，就有6种不同的选法.同样，在问题2中,由于三位数与三个数字的顺序有关，这样，“百位、十位、个位”就是“一定的顺序”，尽管123与132，213，231，312，321含有相同的数字，但却是互不相同的数，因为其中数字的顺序不同.所以，若干个元素按照一定的顺序排成一列，元素不同或元素相同但顺序不同的排列都是不同的排列，当且仅当两个排列的元素和顺序都相同才是同一个排列.

通过抽象和概括排列的概念，可以帮助学生发展数学抽象的核心素养.

3.以具体问题为载体，经历求排列数的过程

问题1的分析、解答过程，就是一个不断化归为能直接应用分步乘法计数原理的数学化的过程：先将问题叙述为“从3名同学中选出2名，按照上午在前下午在后的顺序排列，共有多少种排法”，进一步明确“解决这一问题可分两个步骤…，从而与分步乘法计数原理的条件一致；获得答案后，再以树状图表示出所有选派同学的方法，以使学生确认所得结果的正确性；最后抽象为“从3个不同元素中任取2个，然后按一定顺序排成一列，共有多少种不同排法”.教学中应该让学生充分经历上述过程，以达到该问题的设计目的.