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2024年上海市长宁区中考数学一模卷
一、单选题
(★★)1.在中,,如果,那么等于()
A.
B.
C.
D.
(★★)2.下列关于抛物线的描述正确的是()
A.该抛物线是上升的
B.该抛物线是下降的
C.在对称轴的左侧该抛物线是上升的
D.在对称轴的右侧该抛物线是上升的
(★★★)3.已知点在线段上,且满足,那么下列式子成立的是()
A.
B.
C.
D.
(★★)4.已知为非零向量,且,那么下列说法错误的是()
A.
B.
C.
D.
(★★)5.如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上,下列条件中可以推出DE∥BC的是()
A.,
B.,
C.,
D.,
(★★★)6.已知在与中,点分别在边上,(点不与点重合,点不与点重合).如果与相似,点分别对应点,那么添加下列条件可以证明与相似的是()
①分别是与的角平分线;
②分别是与的中线;
③分别是与的高.
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
二、填空题
(★★)7.如果均不为零),那么的值是____________.
(★★)8.计算:___________.
(★★)9.已知线段,线段,线段c是线段a、b的比例中项,那么______.
(★★)10.若两个相似三角形的周长比为2:3,则它们的面积比是_________.
(★★★)11.如图,,如果,那么线段的长是__________.
(★)12.二次函数图像上部分点的坐标满足下表:那么____________.
0
1
(★★)13.已知向量与单位向量方向相反,且,那么=______(用向量的式子表示)
(★)14.已知一条斜坡的长度为13米,高度为5米,那么该斜坡的坡度为____________.
(★★)15.如图,在中,是上的高,且,矩形的顶点在边上,顶点分别在边和上,如果,那么____________.
(★★★)16.如图,在中,,点是的重心,联结,如果,那么的余切值为____________.
(★★★)17.我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形.在中,,点都在边上,,如果与是友好三角形,那么的长为____________.
(★★★)18.如图,在矩形中,是对角线,点P在边上,连接,将沿着直线翻折,点C的对应点Q恰好落在内,那么线段的取值范围是___________.
三、解答题
(★★★)19.已知抛物线.
(1)用配方法把化为的形式,并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)如果将该抛物线上下平移,得到新的抛物线经过点,求平移后的抛物线的顶点坐标.
(★★)20.在平行四边形中,点是的中点,相交于点.
(1)设,试用表示;
(2)先化简,再求作:(直接作在图中).
(★★★)21.如图,在四边形中,,垂足为点.
(1)求的值;
(2)交于点,如果,求的长.
(★★★)22.小明为测量河对岸大楼的高度,利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪,如图1所示.
测量方法:如图2,人眼在点观察所测物体最高点,量角器零刻度线上两点均在视线上,将铅锤悬挂在量角器的中心点.当铅锤静止时,测得视线与铅垂线所夹的角为,且此时的仰角为.
实践操作:如图3,小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度.他先站在水平地面的点处,视线为,此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为;然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处,视线为,此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为.
问题解决:
(1)请用含的代数式表示仰角;
(2)如果在同一平面内,小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米,求大楼的高度.(结果保留根号)
(★★★)23.如图,在中,点分别是的中点,且,连接并延长交于点.
(1)证明:;
(2)证明:.
(★★★)24.已知抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,直线经过点与点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点在线段下方的抛物线上,过点作的平行线交线段于点,交轴于点.
①如果
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