第二章 位姿描述和齐次变换.pptVIP

数学基础

机械手作为执行机构是用来保证复杂空间运动的综合刚体，而

且它自身也往往需要在机械加工或装配等过程中作为统一体进行

运动。因此，我们需要一种用以描述单一刚体位移、速度和加速

度以及动力学问题的有效而又方便的数学方法---矩阵法

数学描述是以四阶方阵变换三维空间点的齐次坐标为基础的，

能够将运动、变换和映射与矩阵运算联系起来

补充：向量的点积和叉积

矩阵的乘法

abaxbxaybyazbz

ijk



abaxayaz(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k

bxbybz

方向余弦

1.

方向角与方向余弦



O

A



a

O

B=b

AOB(0)为





向量

a,

的b夹角,

记作

=(a,b)

方向角的余弦称为其方向余弦.

cos2cos2cos21



向量r的单位向量:

2.向量在轴u上的投影等于向量的

模乘以轴与向量的夹角的余弦:

PrjuABABcos()

向量补充

已知:a=(a1,a2,a3),

b=(b1,b2,b3)ababab

cosa,b112233

222222

a1a2a3b1b2b3

222

dA,Bx2x1y2y1z2z1

空间任意两直线的公法线长度公式

给定一直线过p点，具有方向矢量m，另一直线过点q，具有

方向矢量n，则:



(mn)pq

a

mn

mn

acrcos()

mn

位置描述(position)---点在坐标系的位置

一旦建立了一个坐标系，我们就能够用某个3×1位置矢量来确定该空

间内任一点的位置。对于直角坐标系{A}，空间任一点p的位置可用3×1的

列矢量AP表示。其中，px、py、pz入是点p在坐标系{A}中的三个坐标分量。

Ap的上标A代表参考坐标系{A}。我们称Ap为位置矢量，见图2.1。

方位描述(orientation)

物体的方位可由某个固接于此物体的坐标系描述为了规定空间某刚体B

的方位，设置一直角坐标系{B}与此刚体固接。用坐标系{B}的三个单

位主矢量xB.yB.zB相对于参考坐标系{A}方向余弦组成的3×3矩阵

来表示刚体B相对于坐标系{A}的方位。称为姿态矩阵/旋转矩阵。式中，

上标A代表参考坐标系{A}，下标B代表被描述的坐标系{B}。共有9个元素，

但只有3个是独立的。由于的三个列矢量AxB.

AyB

、和AzB

都是单位矢量，

且双双相互垂直，因而它的9个元素满足6个约束条件(正交条件)。

A

姿态矩阵BR中的三个列矢量分别表示了B坐标系的单位基矢量iB,jB,kB在A坐标系轴上的投影

A

姿态矩阵BR中的三个行矢量分别表示了A坐标系的单位基矢量iA,jA,kA在B坐标系轴上的投影

位姿描述

要完全描述刚体B在空

间的位姿(位置和姿态),

通常将物体B与某一坐标系

Y(orientation){B}相固接。{B}