2025版高中数学一轮复习情境试题创新练四立体几何理含解析新人教A版.docVIP

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情境试题创新练(四)立体几何

1.据《九章算术》记载,“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一个“鳖臑”如图,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC,则异面直线PB与AC所成角的大小为 ()

A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE

【解析】选C.以B为原点,以,为x,y轴正方向,过B作平面ABC的垂线为z轴,向上为z轴正方向,建立空间直角坐标系,

设PA=AB=BC=1,

则P(0,1,1),B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),

=(0,-1,-1),=(1,-1,0),

设异面直线PB与AC所成角的大小为θ,

则cosθ==QUOTE=QUOTE,所以θ=QUOTE.

2.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完备的“黄金螺旋”,它的画法是:以斐波那契数:1,1,2,3,5…为边的正方形拼成长方形,然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧,这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在许多斐波拉契螺旋线的图案,例如向日葵、鹦鹉螺等.下图为该螺旋线的前一部分,假如用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面,则该圆锥的底面半径

为 ()

A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE

【解析】选C.由题意可知,接下来的一段圆弧长为半径为13的圆的周长的QUOTE,用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面,则圆弧长等于圆锥的底面周长,设该圆锥的底面半径为r,则有2πr=QUOTE,即r=QUOTE.

3.北方的冬天户外冰天雪地,若水管袒露在外,则管内的水就会结冰从而冻裂水管,给用户生活带来不便.每年冬天来临前,工作人员就会给袒露在外的水管“保暖”:在水管外面包袱保温带,用一条保温带回旋而上一次包袱到位.某工作人员采纳四层包袱法(除水管两端外包袱水管的保温带都是四层):如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线,相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一.设水管的直径与保温带的宽度都为4cm.在图2水管的侧面绽开图中,此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是(

A.QUOTEB.QUOTE

C.QUOTE D.QUOTE

【解析】选D.过点A作AE⊥D′B′,垂足为E,其绽开图如图所示,

由水管直径为4cm,

所以水管的周长为AE=4πcm,

设∠AB′E=α,又B′E=QUOTE×4=1(cm),AB′=QUOTE=QUOTE,

所以cosα=QUOTE=QUOTE=QUOTE.

4.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,非常奇妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,从外表上看,六根等长的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来,如图,若正四棱柱的高为8,底面正方形的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为(容器壁的厚度忽视不计) ()

A.21πB.40πC.41πD.84π

【解析】选D.由球的对称性可知,当正四棱柱都处于正中间契合的时候,其外接球半径最小,所以,此时该球为底面边长分别为4,2,高为8的长方体的外接球,设球的半径为R,

所以2R=QUOTE=QUOTE,所以R=QUOTE,所以球的最小表面积为4π·R2=4π·QUOTE=84π.

5.祖暅是我国齐梁时代的数学家,是祖冲之的儿子,他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高,这句话的意思是:两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.于是可把半径相等的半球(底面在下)和圆柱(圆柱高等于半径)放在同一水平面上,

圆柱里再放一个半径和高都与圆柱相等的圆锥(锥尖朝下),探讨圆柱里被圆锥截剩的立体,这样在同一高度用平行平面截得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相等,因此半球的体积等于圆柱中剩余立体的体积.设由椭圆QUOTE+QUOTE=1(ab0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(如图,称为“椭球体”),请类比以上所介绍的应用祖暅原理求球体体积的做法求这个椭球体的体积.其体积等于