人教A版高中数学必修第一册课后习题 第2章一元二次函数、方程和不等式 2.2第2课时 基本不等式的实际应用.docVIP

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第2课时基本不等式的实际应用

课后训练巩固提升

一、A组

1.当a0时,关于代数式2aa

A.有最大值无最小值

B.有最小值无最大值

C.有最小值也有最大值

D.无最小值也无最大值

解析:∵a0,

∴2aa

当且仅当a=1a

即a=1时,取等号,故当a0时,代数式2aa

答案:A

2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为()

A.3 B.4

C.5 D.6

解析:由题意可知,yx=-x+25x

当且仅当x=25x

即8

C.m0 D.m≤4

解析:∵x0,y0,

∴(x+2y)2x+1y=2+

当且仅当4yx

∴m≤8.

答案:A

4.y=x+2x-1(x1)的最小值是

解析:∵x1,∴x-10,

∴y=x+2x-1=x-1+2x-

当且仅当x-1=2x

即x=2+1时,等号成立.

答案:22+12+1

5.若x0,y0,且x+4y=20,则xy的最大值是.?

解析:∵x0,y0,20=x+4y≥2x·4y=4

∴xy≤5?xy≤25.

等号成立的条件是x=4y=10,

即x=10,y=52

即xy的最大值是25.

答案:25

6.已知a0,b0,1a+2

解析:∵a0,b0,1a

∴a+2b=12(a+2b)1a+2b=12(

当且仅当2ba=2a

即a=b=32

∴a+2b的最小值为92

答案:9

7.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,若使它们的倒数和最小,则应分别填上和.?

解析:设这两个自然数分别为x,y,则4x+9y=60,

1x+1y=1x+1

当且仅当4xy

即x=6,且y=4时,等号成立,

故应分别填上6,4.

答案:64

8.(1)求y=14x-5

(2)求y=x(a-2x)(x0,a为大于2x的常数)的最大值.

解:(1)∵x54

∴y=14x-5

当且仅当4x-5=14x

即x=32

∴y的最小值为7.

(2)∵x0,a2x,∴y=x(a-2x)=12×2x·(a-2x)≤1

当且仅当x=a4

∴y的最大值为a2

9.计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).

(1)若设休闲区的长和宽的比|A

(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?

解:(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4000,得a=2010

则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·2010x+160=8010(2x

(2)80102x+5x

当且仅当2x=

故要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长为100米,宽为40米.

二、B组

1.(多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则()

A.1a+

B.ab有最大值1

C.a+b有最大值

D.a2+b2有最小值1

解析:因为正实数a,b满足a+b=1,

所以a+b≥2ab,可得0ab≤14

当且仅当a=b时,取等号.

则1a

即1a

由0ab≤12,可知ab

即a+

故a+b有最大值

由a2+b2≥2ab,可得2(a2+b2)≥(a+b)2=1,

则a2+b2≥12,当且仅当a=b=12时,a2+b2取得最小值

答案:ABCD

2.已知x,y0,x+y=1,若4xyt恒成立,则实数t的取值范围是()

A.t1 B.t1

C.t2 D.t2

解析:由基本不等式,得4xy≤4x+y22=1,当且仅当x=y=

即4xy的最大值为1,则t1.

因此实数t的取值范围是t1.

答案:A

3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 ()

A.245 B.

C.5 D.6

解析:由x+3y=5xy,得15y

即3x+4y=(3x+4y)15y+3

当且仅当x=1,y=12

故3x+4y的最小值是5.

答案:C

4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是()

A.1 B.3

C.6 D.12

解析:∵x2+2xy-3=0,且x,y为正数,

∴y=3-

∴2x+y=2x+3-x2

当且仅当3x2

即x=1时,取等号.

答案:B

5.函数y=x2+2x+2x+1

解析:∵x-1,∴x+10,

∴y=(x+1)2

当且仅当x=0,y=2时,取等号,

即函数图象的最低点的坐标为(0,2).

答案:(0