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第四节无穷小和无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小和无穷大的关系
当一、无穷小定义1.若时,函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当时为无穷小.则称函数时的无穷小.为特别的若称数列时的无穷小.为
阐明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小!由于当时,显然C只能是0!CC时,函数(或)则称函数为定义1.若(或)则时的无穷小.
其中?为时的无穷小量.定理1.(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.
二、无穷大定义2.若任给M0,一切满足不等式的x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在
注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必然无界.但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!
例.证明证:任给正数M,要使即只要取则对满足的一切x,有因此若则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线阐明:
三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,有关无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,阐明:
作业：p-42习题1-42(1)(2),7，8
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