2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析 第二章　§2.2　函数的单调性与最值.pdfVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析

§2.2函数的单调性与最值

课标要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.

掌握函数单调性的简单应用．

知识梳理

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x，x∈I

12

当xx时，都有f(x)f(x)，那么就称当xx时，都有f(x)f(x)，那么就

12121212

定

函数f(x)在区间I上单调递增，称函数f(x)在区间I上单调递减，

义

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单特别地，当函数f(x)在它的定义域上

调递增时，我们就称它是增函数单调递减时，我们就称它是减函数

图象

描述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格

的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足

(1)∀x∈D，都有f(x)≤M；(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；

条件

(2)∃x∈D，使得f(x)＝M(2)∃x∈D，使得f(x)＝M

0000

结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值

常用结论

fx－fx

1．∀x，x∈I且x≠x，有120(0)或(x－x)[f(x)－f(x)]0(0)⇔f(x)在区间I上单

12121212

x－x

12

调递增(减)．

2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．

1

3．函数y＝f(x)(f(x)0或f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．

fx

4．复合函数的单调性：同增异减．

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)满足f(－3)f(2)，则f(x)在[－3,2]上单调递增．(×)

(2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3)．(×)

(3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值．(√)

1

(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)

x

2．下列函数中，在其定义域上是减函数的是()

2

A．y＝－2x＋1