《组合数》同步学案(教师版) (1).docxVIP

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《组合数》同步学案

情境导入

某福利彩票,摇号时用33个红球和16个蓝球,对应着彩票上前区的33个数字和后区的16个数字,每一注彩票要从前区的33个数字中选6个,从后区的16个数字中选1个,一共选7个数字.如果你买的一注彩票与这7个数字全部一样(不管顺序)就中一等奖,如果前区6个一样就中二等奖……有人想,这么高的奖金为何不全部买下来呢?问题是,如果全部买下来需要买多少注?每注两元,一共要花多少钱?这样的问题如何计算呢?它需要用到什么数学知识?

自主学习

自学导引

1.组合数的概念

从个不同元素中取出个元素的______的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号______表示.

2.组合数公式及其性质

(1)公式:____________________,其中,且.

(2)性质:_______,.

(3)规定:_______.

答案:

1.所有不同组合

2.(1)

(2)

(3)1

预习测评

1.若,则的值为()

A.2

B.4

C.4或2

D.3

2.5个代表分4张同样的参观券,每人最多分一张,且全部分完,则分法一共有()

A.种

B.种

C.种

D.种

3.某研究性学习小组有4名男生和4名女生,一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加,其中至少有1名女生,则不同的选法种数为()

A.120

B.84

C.52

D.48

4.方程的解为()

A.4

B.14

C.4或6

D.14或2

5.在同一个平面内有一组平行线共8条,另一组平行线共10条,这两组平行线相互不平行.

(1)它们共能构成_______个平行四边形;

(2)它们共有______个交点.

答案:

1.C

解析:由题意结合组合数性质知或.

2.D

解析:把4张同样的参观券分给5个代表,每人最多分一张,从5个代表中选4个即可满足,故有种.

3.C

解析:由题意,采用间接法可得不同的选法种数为.

4.C

解析:由题意得或,解得或6,经检验知符合题意.

5.(1)1260(2)80

解析:(1)一组中的每两条直线与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形,故平行四边形的个数为.(2)一组中的每条直线与另一组中的每条直线均有一个交点,所以交点个数为

新知探究

探究点1组合数的概念及组合数公式

知识详解

1.组合数的概念

从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示.

2.组合与组合数的区别

“一个组合”是指从个不同元素中取出个元素作为一组,不是数;“组合数”是指从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,是一个数.所以符号只表示组合数,而不表示具体的组合.

3.组合数公式

(1),且.

(2).

4.规定.

典例探究

例1若,求的值.

解析:利用相关公式展开后求解.

答案:由得.

原方程可化为

即

所以,即，

所以,解得或(舍去).所以.

方法归纳

1.组合数的计算主要是利用组合数的公式进行求解.应用该公式时注意:分子是连续正整数的积,其中最大的是组合元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,分母是选取元素个数的阶乘.

2.运用组合数公式的阶乘形式时,一般写出式子后,先提取公因式,再计算,这样往往会减少运算量.

变式训练1求的值.

答案:因为所以

所以,

所以.

解析:先根据组合数的意义求出的范围,进而确定的值,再代入求解.

探究点2简单的组合问题

知识详解

1.利用组合与组合数解决简单的组合应用题的基本思路

2.解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于:排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关.

3.要注意两个基本计数原理的运用,即分类与分步的灵活运用.

典例探究

例2从4名男生和3名女生中选出3名代表.

(1)不同的选法共有多少种?

(2)至少有1名女生的不同的选法共有多少种?

(3)３名代表中男生、女生都要有的不同选法共有多少种?

解析:(1)从7人中任意选3人,根据组合数的定义计算;(2)可用间接法计算;(3)不同选法有两类,即1男2女或2男1女,可分类求解.

答案:(1)由题意得从7名学生中选出3名代表,不同选法的种数为.

(2)至少有1名女生的不同选法的种数为.

(3)男生、女生都要有的不同的选法的种数为.

方法归纳解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,若取出的元素只是组成一组,与顺序无关则是组合问题;若取出的元素排成一列,与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时,才能运用组合数公式求出其方法种数.在解题时