第05讲 空间向量及其应用(精讲）（原卷版）_1.docx

第05讲空间向量及其应用

目录

TOC\o1-3\h\u第一部分：知识点必背 1

第二部分：高考真题回归 6

第三部分：高频考点一遍过 6

高频考点一：空间向量的线性运算 6

高频考点二：共线、共面向量定理的应用 8

高频考点三：向量数量级及其应用 9

角度1：求空间向量的数量积 9

角度2：利用数量积求长度 11

角度3：利用数量积求夹角 12

角度4：利用向量解决平行和垂直问题 14

角度5：向量的投影和投影向量 16

高频考点五：空间向量夹角为钝角（锐角）求参数 17

高频考点六：数量积最值（范围） 18

高频考点七：求法向量 19

高频考点八：利用空间向量证明平行与垂直 22

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第一部分：知识点必背

知识点一：空间向量的有关概念

1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．

2、几类特殊的空间向量

名称

定义及表示

零向量

长度为0的向量叫做零向量，记为

单位向量

模为1的向量称为单位向量

相反向量

与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为

共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量?

共面向量

平行于同一个平面的向量

知识点二：空间向量的有关定理

1、共线向量定理：

对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．

（1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：

（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中

2、共面向量定理

如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使

（1）空间共面向量的表示

如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．

或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．

（2）拓展

对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．

3、空间向量基本定理

如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得

知识点三：空间向量的数量积

1、空间两个向量的夹角

（1）定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）

（2）范围：．

特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作．

(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)．

(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的．

（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）

若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，

(1)向量夹角的范围是0，异面直线的夹角的范围是0，

(2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，.

2、空间向量的数量积

定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

3、向量的投影

3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))．

3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．

4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积.

5、数量积的运算：

（1），.

（2）(交换律)．

（3）(分配律).

知识点四：空间向量的坐标表示及其应用

设，，空间向量的坐标运算法则如下表所示：

数量积

共线（平行）

垂直

（均非零向量）

模

，即

夹角

知识点五：直线的方向向量和平面的法向量

1、直线的方向向量

如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即

2、平面法向量的概念

如图，若直线，取直线的方向向量，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．

3、平面的法向量的求法

求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:

设向量