第06讲 双曲线(分层精练）（解析版）_1.docx

第06讲双曲线

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1．（2023春·江西·高二校联考期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】方程表示双曲线,则，解得或，

故选：D

2．（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】设双曲线的方程为，

因为，所以，则，

所以渐近线方程为.

故选：C.

3．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，若双曲线C的焦点到渐近线的距离为12，则双曲线C的焦距为（????）

A．30 B．24 C．15 D．12

【答案】A

【详解】依题意，右焦点到渐近线的距离，解得，

所以双曲线C的焦距为30.

故选：A.

4．（2023·陕西安康·统考三模）若双曲线的渐近线与圆相切，则k=（????）

A．2 B． C．1 D．

【答案】B

【详解】双曲线的渐近线方程为，即,

∵双曲线的渐近线与圆相切，且圆心为，

∴，解得．

故选：B

5．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】双曲线可得，，，

所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为，

因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行，

所以，解得.

故选：B.

6．（2023秋·安徽滁州·高三校考期末）若双曲线的两条渐近线与直线围成了一个等边三角形，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题可知，则的离心率．

故选：A.

7．（2023·四川绵阳·模拟预测）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】椭圆的焦点坐标为：

在双曲线中：，，所以，，，

所以双曲线的方程为：.

故选：B

8．（2023春·陕西安康·高三校考阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点.若，则的面积为（????）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【详解】因为双曲线，可知右焦点为，，

又，

所以点在线段的中垂线上，所以点的横坐标为，

又双曲线的渐近线方程为，

所以点的纵坐标为，即的高为，

所以的面积为.

故选：C.

??

二、多选题

9．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）设双曲线，其离心率为，虚轴长为，则（????）

A．上任意一点到的距离之差的绝对值为定值

B．双曲线与双曲线：共渐近线

C．上的任意一点（不在轴上）与两顶点所成的直线的斜率之积为

D．过点作直线交于两点，不可能是弦中点

【答案】AB

【详解】双曲线的离心率为，虚轴长为，所以，解得，

所以双曲线，所以两焦点坐标分别为，

由双曲线定义知，故A正确；

双曲线的渐近线方程是，

双曲线：的渐近线方程也是，故B正确；

上的任意一点（不在轴上）设为，则，即，

又两顶点为，

所以斜率之积为，故C错误；

易知点在双曲线的右侧，

此区域内存在一条直线交于两点，使是弦中点，故D错误.

故选：AB

10．（2023秋·湖南长沙·高二统考期末）已知，，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为，则（????）

A．当时，点的轨迹为除去A，B两点的椭圆

B．当时，点的轨迹为除去A，B两点的双曲线

C．当时，点的轨迹为抛物线

D．当时，点的轨迹为一条直线

【答案】AB

【详解】设，

A选项，，故，变形为，且，

故点的轨迹为除去A，B两点的椭圆，A正确；

B选项，，故，变形为，且，

故点的轨迹为除去A，B两点的双曲线，B正确；

C选项，，故，变形为，且，

故点的轨迹为除去A，B两点的抛物线，C错误；

D选项，，即，变形为，且，

故点的轨迹为除去点的直线，D错误；

故选：AB

三、填空题

11．（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则．

【答案】/

【详解】，，则，，，

.

故答案为：.

12．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是．

【答案】

【详解】双曲线的渐近线方程为，

由双曲线与直线有交点，则有，

所以，

则双曲线的离心率的取值范围为．

故答案为：．

四、解答题

13．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上，且.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若直线交于两点，若的面积为，求正实数的值.

【答案】(1)

(2)

【详